Cohomologie cyclique

En mathématiques, la cohomologie cyclique d'une ℂ-algèbre $A$ (non nécessairement commutative), que l'on note $H{C}^{*}(A)$, est la cohomologie du complexe $(C_{\lambda }^n,b)$ où

• $C_{\lambda }^n$ est l'espace des [[forme multilinéaire|formes Modèle:Math-linéaires]] $\varphi$ qui vérifient la condition de cyclicité :Modèle:Centrer
• l'opérateur $b:C_{\lambda }^n\to C_{\lambda }^{n+1}$ est l'opérateur de cobord de Hochschild qui est donné par :Modèle:Centrer

Cas des petits degrés

Un 0-cocycle n'est donc rien d'autre qu'une trace. En effet, la condition de cyclicité est automatiquement vérifiée et une forme linéaire sur $A$ est un cocycle si et seulement si Modèle:Centrer

En conséquence, la cohomologie de Hochschild et la cohomologie cyclique sont égales en degré 0.

Appariements

Les cocycles cycliques ont la propriété de s'apparier avec les éléments de K-théorie. Plus précisément, il existe une application qui, partant d'un cocycle cyclique et d'un élément de K-théorie de même parité, leur associe un nombre complexe. Cette application est

• bien définie (le nombre complexe ne dépend que des classes en cohomologie cyclique et K-théorie, et non des représentants choisis)
• linéaire en le cocycle
• et additive en l'élément de K-théorie.

Enfin, cet appariement est donné par une formule tout à fait explicite et calculable.

Références

• Modèle:En Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994
• Modèle:Ouvrage