Complexe de faisceaux

Un complexe de faisceaux $(K^{\ast },d^{\ast })$ sur un espace topologique X est une suite $(K^n)$ de faisceaux de groupes sur X et une suite longue de morphismes de faisceaux :

$\dots \to K^{n-1}{\to }^d{K}^n{\to }^d{K}^{n+1}\to \dots$

telle que $d^n\circ d^{n+1}=0$. Le faisceau cohomologique $H^j(K^{\ast },d^{\ast })$ est le faisceau associé au préfaisceau quotient Ker $d^j$ / Im $d^{j-1}$.

Un morphisme $\Psi :(K^{\ast },d^{\ast })\to (L^{\ast },d^{\ast })$ de complexes de faisceaux est une suite $({\Psi }^n:K^n\to L^n)$ de morphismes de faisceaux de groupes telle que : ${\Psi }^{n+1}{d}^n=d^n{\Psi }^n$. Un tel morphisme induit un morphisme au niveau des faisceaux cohomologiques :

${\Psi }_{\ast }:H^j(K^{\ast },d^{\ast })\to H^j(L^{\ast },d^{\ast })$