Complément d'un nœud

En théorie des nœuds, une branche des mathématiques, le complément d'un nœud est l'espace tridimensionnel qui l'entoure.

Définition

Plus précisément, dans une 3-variété M, si K est un nœud et N un voisinage tubulaire de K alors le complément XModèle:Ind de K est le complémentaire de l'intérieur de N :

$X_K=M\setminus \text{int}(N).$

La variété M considérée est le plus souvent (parfois même implicitement) la 3-sphère et K est supposé non Modèle:Lien.

On définit de même le complément d'un entrelacs.

Propriétés

• Avec la définition ci-dessus, N est un tore plein, XModèle:Ind est une 3-variété (compacte si M l'est), et leur frontière commune est un 2-tore.
• Le Modèle:Lien assure que le complément d'un nœud est un invariant de nœuds complet : deux nœuds dont les compléments sont homéomorphes sont transformés l'un de l'autre par un homéomorphisme de SModèle:3. Si cet homéomorphisme préserve l'orientation, alors il est isotope à l'identité donc les deux nœuds sont équivalents.
• Le groupe fondamental de ce complément, appelé Modèle:Lien, est donc aussi un invariant, mais non complet.