Condition aux limites dynamique

En mathématiques, une condition aux limites dynamique correspond à une combinaison linéaire entre la dérivée temporelle et la dérivée spatiale de la solution d'une équation aux dérivées partielles aux bords du domaine d'étude.

Pour une équation aux dérivées partielles donnée dans un domaine Modèle:Mvar, dont on note Modèle:Mvar la solution, la condition aux limites dynamique s'écrit dans sa forme générale

$a(x,t)\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial n}=h(x,t)\text{pour tout }x\in \partial D\text{ et }t>0$

où le coefficient Modèle:Mvar désigne une fonction dépendant des variables Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Lorsque Modèle:Math, on dit que la condition est dissipative.

Ce type de condition correspond à une interpolation entre la condition aux limites de Neumann (en prenant Modèle:Math) et la condition aux limites de Dirichlet (en divisant l'équation $a\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial n}=h$ par Modèle:Mvar et en faisant tendre Modèle:Mvar vers l'infini).

De telles conditions se rencontrent dans des problèmes modélisant une répartition de la chaleur dans un milieu dont le bord est entouré par une très fine paroi possédant une grande conductivité. Dans ce cas, si l'on note Modèle:Mvar la conductivité de la paroi, la condition modélisant le phénomène est alors une condition aux limites dynamique s'écrivant

$\frac{1}{c}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial n}=h(x,t)$

Voir aussi

• Condition aux limites de Dirichlet
• Condition aux limites de Neumann
• Condition aux limites de Robin
• Condition aux limites mêlée
• Condition aux limites

Références

• Constantin, A. and J. Escher, (2006). Global existence for fully parabolic boundary value problem, Nonlinear Differential Equations and Applications, 13, 91-118.