Conjecture 3d de Kalai

Modèle:Titre mis en forme En géométrie combinatoire , la conjecture 3Modèle:Exp de Kalai est une minoration du nombre de faces des polytopes à symétrie centrale, conjecturée par Gil Kalai en 1989.

Énoncé

Soit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant $f_k$ le nombre de k-faces de P (on a donc $f_0$ sommets, $f_1$arêtes, etc., et $f_d=1$), la minoration conjecturée par Kalai est : $\sum _{k=0}^d{f}_k\ge 3^d$.

Exemples

Le cube et l'octaèdre, deux exemples pour lesquels la borne de la conjecture est atteinte.

En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc $f_0=f_1\ge 4$, et on a bien $f_0+f_1+f_2\ge 4+4+1=9=3^2$.

En dimension 3, le cube ($f_0=8$, $f_1=12$ et $f_2=6$) et l'octaèdre régulier, son dual ($f_0=6$, $f_1=12$ et $f_2=8$) atteignent tous deux le minorant : $f_0+f_1+f_2+f_3=6+12+8+1=27=3^3$.

En dimensions supérieures, l'hypercube [0,1]^d a exactement 3^d faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant. Plus généralement, tous les Modèle:Lien (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement 3^d faces.

Résultats partiels

Pour $d\le 4$, la conjecture est démontrée ; elle est également vraie pour les Modèle:Lien (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter StanleyModèle:, (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen, mais reste ouverte dans le cas général.

Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur $(f_0,f_1,\dots ,f_d)$ correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant $h_k$ le nombre de k-faces de H, on avait $h_k\le f_k$ pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture 3Modèle:Exp) a été réfutée en 2009.