Conjecture de Herzog-Schönheim

En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman sur les systèmes couvrant, valable pour le groupe ℤ des entiers relatifs.

Énoncé

Soient G un groupe et {aModèle:IndGModèle:Ind, … , aModèle:IndGModèle:Ind} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes GModèle:Ind, … , GModèle:Ind. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé que les indices (finis) [G:GModèle:Ind], … , [G:GModèle:Ind] ne peuvent être tous distincts.

Groupes pyramidaux

Berger, Felzenbaum et Frankel ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes

$\{1\}=G_n\subset G_{n-1}\subset \dots \subset G_0=G$

telle que pour chaque k < n, l'indice [GModèle:Ind:GModèle:Ind] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de GModèle:Ind (ce qui implique que GModèle:Ind est normal dans GModèle:Ind, donc que G est résoluble).

Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.

Sous-groupes sous-normaux

Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes GModèle:Ind sont sous-normaux dans G (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes aModèle:IndGModèle:Ind forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.

Il utilise entre autres le lemme de base suivant : si GModèle:Ind, … , GModèle:Ind sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors

$[G:\bigcap _{i=1}^k{G}_i]|\prod _{i=1}^k[G:G_i].$