Conjecture de Nagata
En mathématiques, la conjecture de Nagata sur les courbes régit le degré minimal requis pour qu'une courbe algébrique plane passe par un ensemble de points à multiplicités prescrites. Elle a été proposée en 1959 par le mathématicien japonais Masayoshi Nagata.
Historique
Nagata énonce sa conjecture par son travail sur le [[Problèmes de Hilbert|14Modèle:E problème de Hilbert]], qui demande si l'anneau invariant d'une action de groupe linéaire sur l'anneau polynomial Modèle:Formule sur un corps Modèle:Mvar est de type fini. Nagata publie la conjecture dans un article de 1959 dans l'American Journal of Mathematics, dans lequel il présente un contre-exemple au 14Modèle:E problème de Hilbert.
Énoncé
- Conjecture de Nagata. Soient Modèle:Formule des points de Modèle:Formule et Modèle:Formule des entiers positifs. Alors pour Modèle:Formule toute courbe Modèle:Mvar dans Modèle:Formule passant par chacun des points Modèle:Formule de multiplicité Modèle:Formule doit satisfaire
La condition Modèle:Formule est nécessaire.
Statut actuel
Le seul cas où la conjecture est démontrée est celui où Modèle:Mvar est un carré parfait, prouvé par Nagata. Malgré l'intérêt porté à cet énoncé, les autres cas restent ouverts. Une formulation plus moderne de cette conjecture est souvent donnée en termes de constantes de Seshadri et a été généralisée à d'autres surfaces sous le nom de conjecture de Nagata-Biran.