Conjecture de Singmaster

La conjecture de Singmaster, nommée ainsi en l'honneur de David Singmaster, affirme qu'il y a un majorant fini des multiplicités des termes du triangle de Pascal (autres que 1 qui apparaît un nombre infini de fois), à savoir le nombre de fois où un terme apparaît dans le triangle. Paul Erdős a dit que la conjecture de Singmaster était probablement vraie mais qu'elle serait très difficile à démontrer.

Conjecture et résultats connus

Il est clair que le seul nombre qui apparaît une infinité de fois dans le triangle de Pascal est 1 car tout autre nombre x ne peut apparaître que dans les x + 1 premières lignes du triangle.

Soit N(a) le nombre de fois où le nombre a > 1 apparaît dans le triangle de Pascal. En notation « grand O de », la conjecture affirme que :

N (a) = O (1) .

Singmaster a montré^[1] que

N (a) = O (\log a) .

Abbot, Erdős, et Hanson^[2] affinèrent l'estimation. La meilleure limite actuelle, due à Daniel Kane^[3], est

N (a) = O (\frac{(\log a) (\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3}}) .

Singmaster a montré^[4] que l'équation diophantienne

(\binom{m}{j - 1}) = (\binom{m - 1}{j})

a une infinité de solutions (m, j). Il s'ensuit qu'il y a une infinité de termes de multiplicité au moins 6. Les solutions sont données par^[5]

m = F_{2 ℓ} F_{2 ℓ + 1} e t j = F_{2 ℓ - 1} F_{2 ℓ},

où ℓ ≥ 2 et FModèle:Ind est le n-ième nombre de Fibonacci (indicé selon la convention suivante : F₁ = F₂ = 1).

Exemples numériques

2 apparaît une seule fois ; tout nombre plus grand apparaît plus d'une fois.
4, ainsi que tout nombre premier différent de 2, apparaît 2 fois.
6 apparaît 3 fois.
Beaucoup de nombres apparaissent 4 fois.
On ne sait pas s'il existe des nombres apparaissant 5 fois.
Les sept nombres suivants apparaissent 6 fois :

(\binom{120}{1}) = (\binom{16}{2}) = (\binom{10}{3}),

(\binom{210}{1}) = (\binom{21}{2}) = (\binom{10}{4}),

(\binom{1540}{1}) = (\binom{56}{2}) = (\binom{22}{3}),

(\binom{7140}{1}) = (\binom{120}{2}) = (\binom{36}{3}),

(\binom{11628}{1}) = (\binom{153}{2}) = (\binom{19}{5}),

(\binom{24310}{1}) = (\binom{221}{2}) = (\binom{17}{8}),

(\binom{61218182743304701891431482520}{1}) = (\binom{104}{39}) = (\binom{103}{40}),

qui correspond à ℓ = 3 dans la suite de Singmaster.

Parmi les autres nombres apparaissant au moins 7 fois, le plus petit est le précédent dans la suite de Singmaster (ℓ = 2). Il apparaît 8 fois :Modèle:RetraitOn ne sait pas s'il existe d'autres nombres apparaissant au moins 7 fois.

Voir aussi

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Liens externes

Bruno Martin — « Une conjecture sur le triangle de Pascal » — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Modèle:Portail

[1] Modèle:Article.

[2] Modèle:Article.

[3] Modèle:Article.

[4] Modèle:Article.

[5] Voir Modèle:MathWorld et Modèle:OEIS.

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[3]

[4]

[5]

Conjecture de Singmaster

Sommaire

Conjecture et résultats connus

Exemples numériques

Voir aussi

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