Conjectures de Langlands locales

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En mathématiques, les conjectures de Langlands locales, énoncées par Robert Langlands en 1967 et 1970, forment une partie du programme de Langlands. Elles décrivent une correspondance entre les représentations complexes d'un groupe algébrique réductif G sur un corps local F et les représentations du groupe de Langlands de F dans le groupe dual de Langlands de G. Cette correspondance n'est pas une bijection en général. Ces conjectures constituent une vaste généralisation de la théorie des corps de classes locaux des groupes de Galois abéliens aux groupes Galois non abéliens.

Conjectures de Langlands locales pour GL1

Les conjectures de Langlands locales pour GL1(K) découlent de (et sont essentiellement équivalentes à) la théorie des corps de classes locaux. Plus précisément, l'application d'Artin fournit un isomorphisme du groupe GL1(K) = K* sur l'abélianisé du groupe de Weil. En particulier, les représentations lisses irréductibles de GL1(K) sont de dimension 1 car le groupe est abélien, elles peuvent donc être identifiées avec les morphismes du groupe de Weil vers GL1(C). C'est exactement la correspondance de Langlands souhaitée entre les morphismes du groupe de Weil vers GL1(C) et les représentations lisses irréductibles de GL1(K).

Représentations du groupe de Weil

Les représentations du groupe de Weil ne correspondent pas tout à fait aux représentations lisses irréductibles des groupes linéaires généraux. Pour obtenir une bijection, il faut modifier légèrement la notion de représentation du groupe de Weil et passer à la notion de représentation de Weil-Deligne. C'est la donnée d'une représentation du groupe de Weil sur un espace vectoriel V et d'un endomorphisme nilpotent N de V tel que wNw−1 = ||w||N, ou, de manière équivalente, une représentation du groupe Weil-Deligne. On impose de plus que la représentation du groupe de Weil ait un noyau ouvert et soit semi-simple (au sens de Frobenius).

Pour toute représentation de Weil-Deligne ρ complexe, semi-simple au sens de Frobenius et de dimension n du groupe de Weil de F, il existe une fonction L notée L(s,ρ) et un facteur ε-local ε(s,ρ,ψ) (qui dépend d'un caractère ψ de F).

Représentations de GLn(F)

Les représentations de GLn(F) apparaissant dans la correspondance de Langlands locale sont des représentations complexes irréductibles lisses :

  • « lisse » signifie que le stabilisateur de tout vecteur est un sous-groupe ouvert ;
  • « irréductible » signifie que la représentation est de dimension non nulle et n'a pas de sous-représentation autre que 0 et elle-même.

Les représentations complexes irréductibles lisses sont automatiquement admissibles.

La classification de Bernstein-Zelevinsky réduit la classification des représentations lisses irréductibles aux représentations cuspidales.

Pour toute représentation complexe admissible irréductible π il existe une fonction L notée L(s,π) et un ε-facteur local ε(s,π,ψ) (qui dépend d'un caractère ψ de F). Plus généralement, pour deux représentations irréductibles admissibles π et π' de groupes linéaires généraux, il existe des fonctions L de convolution de Rankin-Selberg locales L(s,π×π') et des ε-facteurs ε(s,π×π',ψ).

L'article Modèle:Harvard décrit les représentations admissibles des groupes linéaires généraux sur les corps locaux.

Conjectures de Langlands locales pour GL2

La conjecture de Langlands locale pour GL2 d'un corps local dit qu'il existe une bijection (unique) π entre les représentations de Weil-Deligne semi-simples de dimension 2 du groupe de Weil et les représentations lisses irréductibles de GL2(F) qui préserve les fonctions L, les facteurs ε, et commute avec la torsion par les caractères de F*.

Modèle:Harvard ont vérifié les conjectures de Langlands locales pour GL2 dans le cas où le corps résiduel n'est pas de caractéristique 2. Dans ce cas les représentations du groupe de Weil sont toutes de type cyclique ou diédral. Or Modèle:Harvard avaient classé les représentations lisses irréductibles de GL2(F) lorsque la caractéristique résiduelle de F est impaire (voir aussi Modèle:Référence Harvard) ; ils avaient affirmé de façon erronée que la classification pour un corps résiduel de caractéristique paire ne différait pas de façon significative du cas qu'ils avaient traité. Modèle:Harvard a signalé que quand le corps résiduel est de caractéristique 2, il apparaît des représentations de dimension 2 exceptionnelle du groupe de Weil dont l'image dans PGL2(C) est de type tétraédral ou octaédral. (Pour les conjectures de Langlands globales, les représentations de dimension 2 peuvent même être de type icosaédral mais cela ne peut pas se produire dans le cas local puisque les groupes de Galois sont résolubles.) Modèle:Harvard a démontré les conjectures de Langlands locales pour GL2(K) sur les nombres dyadiques et les corps locaux contenant une racine cubique de l'unité. Modèle:Harvard a démontré les conjectures de Langlands locales pour le groupe GL2(K) sur n'importe quel corps local.

Modèle:Harvard et Modèle:Harvard proposent un exposé de la démonstration.

Conjectures de Langlands locales pour GLn

Les conjectures locales de Langlands pour les groupes linéaires généraux stipulent qu'il existe des bijections uniques π ↔ ρπ entre les classes d'équivalence de représentations admissibles irréductibles π de GLn(F) et les classes d'équivalence de représentations de Weil-Deligne continues complexes semi-simples au sens de Frobenius de dimension n ρπ du groupe de Weil de F, qui préservent les fonctions L et les facteurs ε des paires de représentations, et coïncident avec l'applicaiton d'Artin pour les représentations de dimension 1. Autrement dit,

  • L(s,ρπ⊗ρπ') = L(s,π×π') ;
  • ε(s,ρπ⊗ρπ',ψ) = ε(s,π×π',ψ).

Modèle:Harvard ont démontré les conjectures de Langlands locales pour le groupe linéaire GLn(K) sur un corps local de caractéristique finie. Modèle:Harvard présente ce travail.

Modèle:Harvard démontrent les conjectures de Langlands locales pour le groupe linéaire GLn(K) sur un corps local K de caractéristique 0. Modèle:Harvard en donne une autre preuve. Modèle:Harvard et Modèle:Harvard présentent ces travaux.

Conjectures de Langlands locales pour d'autres groupes

Modèle:Harvard et Modèle:Harvard étudient les conjectures de Langlands pour des groupes plus généraux. Les conjectures de Langlands pour les groupes réductifs G arbitraires sont plus difficiles à énoncer que pour les groupes linéaires GL puisqu'elles font intervenir le groupe dual de Langlands et la meilleure façon de les énoncer n'est même pas claire. En gros, les représentations admissibles d'un groupe réductif sont groupées en parties finies appelées L-paquets, qui devraient correspondre à certaines classes de morphismes appelées L-paramètres du groupe de Langlands local vers le groupe dual de Langlands de G. Certaines versions antérieures utilisaient le groupe de Weil-Deligne ou le groupe de Weil à la place du groupe de Langlands local, ce qui conduisait à une forme un peu plus faible de la conjecture.

Modèle:Harvard démontre les conjectures éponyme Langlands conjectures pour les groupes sur les corps archimédiens R et C en donnant la classification de Langlands de leurs représentations admissible irréductibles (à équivalence infinitésimale près) ou, de façon équivalente, de leurs (𝔤,K)-modules irréductibles.

Modèle:Harvard ont démontré les conjectures de Langlands locales pour le groupe symplectique GSp(4) et les ont utilisées dans Modèle:Harvard pour les déduires pour le « vrai » groupe symplectique Sp(4).

Références

Modèle:Traduction/Référence

Liens externes

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