Constante d'Embree-Trefethen

En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la constante d'Embree-Trefethen est une valeur charnière, notée traditionnellement ${\beta }^{*}$ et valant approximativement $0,70258$. Cette constante porte le nom des mathématiciens Modèle:Lien et Lloyd N. Trefethen.

Soit $\beta$ un nombre positif fixé. On considère la suite définie par récurrence

$x_{n+1}=x_n\pm \beta x_{n-1}$

où le signe ± dans la somme est choisi aléatoirement pour chaque Modèle:Mvar, indépendamment et avec la même probabilité pour + et −. On peut démontrer que pour chaque $\beta$, la limite

$\sigma (\beta )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|x_n{|}^{1/n}$

existe presque sûrement. En d'autres termes, la suite varie exponentiellement avec probabilité 1, et $\sigma (\beta )$ peut être vu comme le taux presque sûr de croissance exponentielle.

On a

$\sigma (\beta )<1$ pour $0<\beta <{\beta }^{*}$

où ${\beta }^{*}\approx 0,70258$ (Modèle:OEIS2C), de sorte que la suite récurrente décroît exponentiellement avec probabilité 1 quand Modèle:Mvar tend vers l'infini, et

$\sigma (\beta )>1$ pour $\beta >{\beta }^{*}$

de sorte que la suite croît exponentiellement. En ce qui concerne les valeurs de $\sigma$, on a :

• $\sigma (1)=1,13198\dots$ (c'est la constante de Viswanath Modèle:OEIS2C) et
• $\sigma ({\beta }^{*})=1$.

Liens externes

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