Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique définie par les zéros d'une certaine fonction H(λ,z), où λ est un paramètre réel et z est une variable complexe : H(λ,z) n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.

Depuis 2020, il est démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,2.

La constante est intimement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta de Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante : Λ ≤ 0. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors Λ = 0.

Expressions analytiques particulières de H

La fonction H(λ,z) est par définition la transformée de Fourier de exp(λx²)Φ(x) :

$H(\lambda ,z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\lambda u^2}\mathrm{\Phi }(u)\cos (zu)du$

où $\mathrm{\Phi }$ est la fonction à décroissance rapide définie par

$\mathrm{\Phi }(u)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(2{\pi }^2{n}^4{e}^{9u}-3\pi n^2{e}^{5u})\exp (-\pi n^2{e}^{4u})$

• H(0,x) = ξ(1/2+ix), où ξ désigne la fonction xi de Riemann

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }(s/2)\zeta (s)$

• H a la représentation de Wiener-Hopf :
  • pour λ ≥ 0, $\xi (1/2+\mathrm{i}z)=A\frac{\sqrt{\pi }}{\lambda }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-(x-z{)}^2/(4\lambda )}H(\lambda ,x)\mathrm{d}x$
  • pour λ < 0,

$H(z,\lambda )=\frac{B\sqrt{\pi }}{\lambda }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (\frac{-1}{4\lambda }(x-z{)}^2)\xi (1/2+ix)dx,$ avec $z\in ℂ$ et $\lambda \in ℝ$

où A et B sont des constantes réelles.

Recherche et approximation de Λ

Majorant

Nicolaas Govert de Bruijn en 1950 a montré que Λ ≤ 1/2.

Cette borne supérieure n'a pas été améliorée jusqu'en 2008, quand Ki, Kim et Lee ont démontré que Λ < 1/2, rendant l'inégalité stricte.

En 2018, le Modèle:15e a démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,22. En 2020, la borne supérieure a été réduite à 0,2 par Dave Platt et Tim Trudgian.

Minorant

Modèle:Lien a conjecturé que 0 ≤ Λ.

D'imposants calculs sur Λ ont été faits depuis 1987 et sont encore menés à l'heure actuelle :

Années	Minorant de Λ
1987	–50
1990	–5
1992	–0,385
1994	Modèle:Unité
1993	Modèle:Unité
2000	Modèle:Unité
2011	Modèle:Unité
2018Modèle:,	0

La démonstration en Modèle:Date- que 0 ≤ Λ confirme donc la conjecture de Newman.

Références

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.

Voir aussi

Article connexe

• Table de constantes mathématiques

Lien externe

• Modèle:MathWorld