Constante de Foias

Fichier:Foias constant sequence.png

Évolution de la suite $(x_n)$ pour diverses valeurs de $x_1$, autour de la constante de Foias. L'évolution pour $x_1=\alpha$ est tracée en vert. Les autres valeurs initiales conduisent à deux valeurs d'adhérence 1 et $+\mathrm{\infty }$ . Le repère est à échelle logarithmique.

En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par

$x_1=\alpha \text{et}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{x}_{n+1}={(1+\frac{1}{x_n})}^n$

ait pour limite l'infini.

Précisions

Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques.

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée $1,187$.

La suite $(x_n)$ correspondante est équivalente à $\left(\frac{n}{\ln n}\right)$ donc aussi (mais c'est un hasard) à $(\pi (n))$, où Modèle:Math est la fonction de compte des nombres premiers.

Anecdote

On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple : une suite $(x_n)$ telle que

$x_1>0\text{et}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{x}_{n+1}={(1+\frac{1}{x_n})}^{x_n}$

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement $2,293$) de l'équation $x={(1+\frac{1}{x})}^x$. Un autre argument consiste à remarquer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=\mathrm{e}\ne +\mathrm{\infty }$.

Bibliographie

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