Constante de Gelfond-Schneider

Modèle:Voir homonymes La constante de Gelfond-Schneider, mentionnée par David Hilbert comme exemple (avec la constante de Gelfond) dans [[Septième problème de Hilbert|son Modèle:7e problème]], est :

$2^{\sqrt{2}}=2,665144142\dots$.

Rodion Kuzmin prouva en 1930 que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme Modèle:MathModèle:Exp avec Modèle:Math algébrique différent de 0 et de 1 et Modèle:Math irrationnel quadratique — est transcendant, et Aleksandr Gelfond généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le théorème de Gelfond-Schneider.

Sa racine carrée est le nombre transcendant

${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=1,6325269\dots$

qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que ${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}=2$. En utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion sans savoir que ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ est irrationnel).