Constante de Kemeny

En probabilités, la constante de Kemeny d'une chaîne de Markov ergodique est l'espérance du temps d'atteinte d'un état choisi aléatoirement selon la probabilité stationnaire de cette chaîne. Ce qu'il y a de remarquable à propos de cette espérance est qu'elle ne dépend pas de l'état initial de la chaîne — d'où le nom de constante de Kemeny : il s'agit d'une quantité qui ne dépend que de la chaîne étudiée.

Définition formelle

La définition suivante est conforme à la formulation originelle, mais comme détaillé plus bas il est possible d'adopter une autre convention. Soit $T_j^{+}$ le temps d'atteinte de l'état Modèle:Mvar, défini ici par $T_j^{+}=\min \{t\ge 1\mid X_t=j\}$, où $X_t$ est l'état de la chaîne au temps Modèle:Mvar. On note ${𝔼}_i[T_j^{+}]$ l'espérance de cette variable aléatoire sachant que $X_0=i$, i.e. le temps moyen qu'il faut pour atteindre l'état Modèle:Mvar en partant de l'état Modèle:Mvar (qu'on prend égal au temps de retour en Modèle:Mvar lorsque Modèle:Math. La constante de Kemeny est donnée par

$K=\sum _j{𝔼}_i\left[T_j^{+}\right]{\pi }_j$,

où $\mathit{\pi }$ est la probabilité stationnaire de la chaîne. Comme expliqué plus haut, cette quantité ne dépend pas de Modèle:Mvar.

Remarque : Il aurait également été possible d'adopter la définition suivante :

$K^{\prime }=\sum _j{𝔼}_i\left[T_j\right]{\pi }_j$,

où $T_j=\min \{t\ge 0\mid X_t=j\}$. On a alors $K=K^{\prime }+1$. En effet, le seul terme différant dans les deux sommes précédentes est le terme pour Modèle:Math. Dans avec la première définition, ce terme est égal au produit du temps de retour à l'état Modèle:Math ($1/{\pi }_i$) par la probabilité stationnaire de se trouver dans cet état (${\pi }_i$), soit 1; tandis qu'avec la deuxième il est égal à 0. La deuxième définition présente l'avantage de permettre d'exprimer la constante comme $K^{\prime }=\mathrm{T}\mathrm{r}(𝐙)$, où $𝐙=(I-P+\mathrm{\Pi }{)}^{-1}-\mathrm{\Pi }$, où $P$ est la matrice de transition et $\mathrm{\Pi }$ la matrice dont les lignes sont $\mathit{\pi }$.Modèle:Référence nécessaire

Anecdote historique

Ce résultat est contre intuitif, si bien que lorsqu'il a été énoncé par John Kemeny en 1960, un prix a été promis à quiconque pourrait en donner une explication intuitive.