Constante de Lebesgue (séries de Fourier)

Modèle:Confusion Dans l'étude des séries de Fourier, les constantes de Lebesgue permettent de quantifier la qualité de l'approximation.

Définition

On se place, sans perte de généralité, sur l'intervalle Modèle:Math. On considère une fonction Modèle:Mvar intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre Modèle:Mvar de sa série de Fourier :

$S_n(f,x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)D_n(x-t)\mathrm{d}t,\text{avec}{D}_n(t)=\frac{\sin (2n+1)\frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}$ (noyau de Dirichlet).

Si, pour tout Modèle:Mvar réel, Modèle:Math, alors :

$|S_n(f,x)|⩽\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|D_n(t)|\mathrm{d}t=:{\mathrm{L}}_n$.

C'est cette valeur Modèle:Math qui est appelée la Modèle:Mvar-ième constante de Lebesgue. Elle est optimale, même en se restreignant aux fonctions Modèle:Mvar continues.

Léopold Fejér en a trouvé une autre expression :

${\mathrm{L}}_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{2}{\pi }\sum _{m=1}^n\frac{1}{m}\tan \frac{m\pi }{2n+1}$.

Estimations

Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont :

• ${\mathrm{L}}_0=1$ ;
• ${\mathrm{L}}_1=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{\pi }\approx 1,435991$ (Modèle:OEIS) ;
• ${\mathrm{L}}_2=\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{25-2\sqrt{5}}}{\pi }\approx 1,642188$ (Modèle:OEIS2C).

On sait que :

${\mathrm{L}}_n=\frac{4}{{\pi }^2}\ln (2n+1)+c+o(1)$ avec

$c=\frac{4}{{\pi }^2}(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\ln k}{4k^2-1}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1/2)}{\mathrm{\Gamma }(1/2)})\approx 0,989433$ (Modèle:OEIS2C), où Modèle:Math est la fonction gamma.