Coordonnées de Painlevé-Gullstrand

Les Modèle:Terme défini sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild.

Coordonnées

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont notées Modèle:FormuleModèle:Sfn.

La coordonnées de temps Modèle:Formule est le temps propre mesuré par un observateur en chute libre radiale depuis l'infini et sans vitesse initialeModèle:Sfn. Elle est reliée à la [[Métrique de Schwarzschild#Coordonnées de Schwarzschild|coordonnée de temps (Modèle:Formule) de Schwarzschild]] parModèle:Sfn :

$cT=ct+2R_{\mathrm{S}}[\sqrt{\frac{r}{R_{\mathrm{S}}}}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{\sqrt{\frac{r}{R_{\mathrm{S}}}}-1}{\sqrt{\frac{r}{R_{\mathrm{S}}}}+1}\right)]$,

où :

• $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• $R_{\mathrm{S}}=\frac{2GM}{c^2}$ est le rayon de Schwarzschild, où $G$ et $M$ sont respectivement la constante de Newton et la masse ;
• $\ln$ est le logarithme naturel.

Les trois coordonnées d'espace Modèle:Formule sont [[Métrique de Schwarzschild#Coordonnées de Schwarzschild|celles Modèle:Formule de Schwarzschild]]Modèle:Sfn.

Métrique

En coordonnées de Painlevé-Gullstrand, la métrique de Schwarzschild s'écritModèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=-c^2\mathrm{d}{T}^2+{(\mathrm{d}r+\sqrt{\frac{R_{\mathrm{S}}}{r}}c\mathrm{d}T)}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$,

où :

• $R_{\mathrm{S}}$ est le rayon de Schwarzschild ;
• $\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2=\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\phi }^2$

En unités géométriques, elle s'écrit :

$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{T}^2+{(\mathrm{d}r+\sqrt{\frac{2m}{r}}\mathrm{d}T)}^2+r^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$,

où, par définition, $c=1$, $G=1$ et $m=GM{c}^{-2}$

Histoire

Les éponymes des coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont le mathématicien et homme politique français Paul Painlevé (Modèle:Date--Modèle:Date-) et le physicien et ophtalmologue suédois Allvar Gullstrand (Modèle:Date--Modèle:Date-)Modèle:Sfn.

Leur intérêt est qu'historiquement, il s'agit du premier système de coordonnées découvert grâce auquel la métrique de Schwarzschild n'est pas singulière en $r=2GM{c}^{-2}$Modèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

Publications originales

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.

Études

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
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Ouvrages

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Liens externes

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