Coordonnées ellipsoïdales

En géométrie de l'espace, les coordonnées ellipsoïdales sont un système de coordonnées orthogonales tridimensionnelles $(\lambda ,\mu ,\nu )$ qui généralise le système de coordonnées elliptiques bidimensionnelles. Contrairement à la plupart des systèmes de coordonnées orthogonales tridimensionnelles qui présentent des surfaces de coordonnées quadratiques, le système de coordonnées ellipsoïdales est basé sur des quadriques confocales .

Formules de base

Les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ peuvent être générées à partir des coordonnées ellipsoïdales $(\lambda ,\mu ,\nu )$ par les équations

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}$

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}$

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$

où les limites suivantes s'appliquent aux coordonnées

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2.$

Par conséquent, les surfaces à $\lambda$ constant sont des ellipsoïdes

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1,$

alors que les surfaces à $\mu$ constant sont des hyperboloïdes à une nappe

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1,$

parce que le dernier terme du côté gauche est négatif et que les surfaces sont constantes $\nu$ sont des hyperboloïdes à deux nappes

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1$

parce que les deux derniers termes du côté gauche sont négatifs.

Le système orthogonal de quadriques utilisé pour les coordonnées ellipsoïdales est constitué de quadriques confocales (de mêmes foyers).

Facteurs d'échelle et opérateurs différentiels

Pour plus de concision dans les équations ci-dessous, on introduit une fonction

$S(\sigma )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a^2+\sigma )(b^2+\sigma )(c^2+\sigma )$

où $\sigma$ peut désigner l'une des trois variables $(\lambda ,\mu ,\nu )$ . En utilisant cette fonction, les facteurs d'échelle peuvent être écrits

$h_{\lambda }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}},h_{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}},h_{\nu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}$

Par conséquent, l'élément de volume infinitésimal est égal à

$dV=\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8\sqrt{-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}d\lambda d\mu d\nu$

et le Laplacien est défini par

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{4\sqrt{S(\lambda )}}{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}\frac{\partial }{\partial \lambda }\left[\sqrt{S(\lambda )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \lambda }\right]+\frac{4\sqrt{S(\mu )}}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}\frac{\partial }{\partial \mu }\left[\sqrt{S(\mu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }\right]+\frac{4\sqrt{S(\nu )}}{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[\sqrt{S(\nu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }\right]$

D'autres opérateurs différentiels tels que $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ et $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ peuvent être exprimés dans les coordonnées $(\lambda ,\mu ,\nu )$ en substituant les facteurs d'échelle dans les formules générales trouvées dans les coordonnées orthogonales.

Paramétrisation angulaire

Il existe une paramétrisation alternative qui suit de près la paramétrisation angulaire des coordonnées sphériques :

$x=as\sin \theta \cos \varphi ,$

$y=bs\sin \theta \sin \varphi ,$

$z=cs\cos \theta .$

Ici, $s>0$ paramétrise les ellipsoïdes concentriques autour de l'origine et $\theta \in [0,\pi ]$ et $\varphi \in [0,2\pi ]$ sont respectivement les angles polaires et azimutaux classiques des coordonnées sphériques. L'élément de volume correspondant est

$dxdydz=abc{s}^2\sin \theta dsd\theta d\varphi .$

Voir aussi

Articles connexes

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• Modèle:Lien (coque donnée par deux surfaces de coordonnées)
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Bibliographie

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Liens externes

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