Correspondance de Galois

Modèle:Article à sourcer Modèle:Ébauche En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.

Correspondance antitone

Soient $m_{1} : P \to Q$ et $m_{2} : Q \to P$ des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés $(P, \leq_{P})$ et $(Q, \leq_{Q})$ . On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition : $(m_{1}, m_{2})$ est une correspondance de Galois antitone si $m_{1}$ et $m_{2}$ sont décroissantes et si $m_{2} \circ m_{1}$ et $m_{1} \circ m_{2}$ sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

p \leq_{P} m_{2} (m_{1} (p)) et q \leq_{Q} m_{1} (m_{2} (q)) .

Deuxième définition : $(m_{1}, m_{2})$ est une correspondance de Galois antitone si $m_{1}$ et $m_{2}$ vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

q \leq_{Q} m_{1} (p) \Leftrightarrow p \leq_{P} m_{2} (q) .

Correspondance isotone

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de $(P, \leq_{P})$ vers $(Q, \leq_{Q})$ est, au sens de variation de $m_{1}$ et $m_{2}$ près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre $(P, \leq_{P})$ et l'ensemble ordonné $(Q, \leq_{Q}^{o p})$ , où $\leq_{Q}^{o p}$ désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de $\leq_{Q}$ . Autrement dit :

Première définition : $(m_{1}, m_{2})$ est une correspondance de Galois isotone si $m_{1}$ et $m_{2}$ sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

p \leq_{P} m_{2} (m_{1} (p)) et m_{1} (m_{2} (q)) \leq_{Q} q .

Deuxième définition : $(m_{1}, m_{2})$ est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

m_{1} (p) \leq_{Q} q \Leftrightarrow p \leq_{P} m_{2} (q) .

Propriétés

Soit $(m_{1}, m_{2})$ une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

$m_{2} \circ m_{1}$ et $m_{1} \circ m_{2}$ sont croissantes.
$m_{2} \circ m_{1} \circ m_{2} = m_{2}$ (et $m_{1} \circ m_{2} \circ m_{1} = m_{1}$ ), si bien que $m_{2} \circ m_{1}$ et $m_{1} \circ m_{2}$ sont idempotentes.
$m_{2} \circ m_{1}$ est un opérateur de clôture sur $(P, \leq_{P})$ (puisqu'elle est de plus extensive).
Dans le cas antitone, $m_{1} \circ m_{2}$ est de même un opérateur de clôture sur $(Q, \leq_{Q})$ .
Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné $(P, \leq_{P})$ est de la forme $m_{2} \circ m_{1}$ pour une certaine correspondance de Galois^[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour $m_{1}$ la corestriction de c à Q, et pour $m_{2}$ l'injection canonique de Q dans P.

Note

Modèle:Références

Voir aussi

Treillis de Galois

Modèle:Portail

↑ Modèle:En T. S. Blyth, Modèle:Langue, Springer, 2005 Modèle:ISBN, p. 10.

[1] Modèle:En T. S. Blyth, Modèle:Langue, Springer, 2005 Modèle:ISBN, p. 10.

[1]

Correspondance de Galois

Sommaire

Correspondance antitone

Correspondance isotone

Propriétés

Note

Voir aussi

Menu de navigation

Correspondance de Galois

Correspondance antitone

Correspondance isotone

Propriétés

Note

Voir aussi

Menu de navigation

Rechercher