Courbe cycloïdale

Construction d'une épicycloïde

Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.

Classification

Les différents cas particuliers de courbes cycloïdales sont liés à la forme de la directrice. Ainsi, on utilise les termes suivants :

1. lorsque la directrice est un cercle, on parle de cycloïde à centre :
   • lorsque le cercle roulant est à l'extérieur du cercle directeur, c'est une épicycloïde (dont la cardioïde et la néphroïde sont des cas particuliers) ;
   • lorsque le cercle roulant est à l'intérieur du cercle directeur, c'est une hypocycloïde (dont la droite de La Hire, la deltoïde et l'astroïde sont des cas particuliers) ;
2. lorsque la directrice est une droite, on parle de cycloïde droite ou tout simplement de cycloïde.

Définition mathématique

Une courbe cycloïdale peut être définie par deux équations intrinsèques:

• $\left[1\right]R_c^2+{\omega }^2{s}^2={\omega }^2{A}^2$
• $\left[2\right]s=A\sin (\omega \varphi )$

où $R_c$ représente le rayon de courbure et $s$ l'abscisse curviligne On retrouve alors les cas particuliers évoqués ci-dessus :

• • $\omega =1$ : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant)
  • $0<\omega <1$ : épicycloïde ($\omega =\frac{a}{a+2b},A=\frac{4b(a+b)}{a}$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant)
  • $\omega >1$ : hypocycloïde ($\omega =\frac{a}{a-2b},A=\frac{4b(a-b)}{a}$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).

Voir aussi

Articles connexes

• Trochoïde : lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci
• Cycloïde, § « Étymologie et histoire »