Critère de Nagumo

Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.

Énoncé

Soit Modèle:Math une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [tModèle:Ind – c, tModèle:Ind + c] × Modèle:Surligner de ℝ × E.

Si Modèle:Math vérifie sur S la condition

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

coïncident sur tout sous-intervalle de [tModèle:Ind – c, tModèle:Ind + c] où elles sont définies toutes deux.

Démonstration

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [tModèle:Ind, tModèle:Ind] avec tModèle:Ind > tModèle:Ind, montrons que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par Modèle:Centrer est nulle en tModèle:Ind, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en tModèle:Ind, puisque quand t → tModèle:IndModèle:Exp, Modèle:Centrer Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [tModèle:Ind, tModèle:Ind] une fonction h par Modèle:Centrer qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi Modèle:Centrer autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – tModèle:Ind) est décroissante sur ]tModèle:Ind, tModèle:Ind]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en tModèle:Ind, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Exemple

Soit l'application $f:ℝ\times ℝ\to ℝ$ définie par

$f(t,u)=\sqrt{t^2+|u|}$

et soit le problème de Cauchy

$u^{\prime }=f(t,u),u(0)=0$

L'application $f$ n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que $f(0,u)=\sqrt{|u|}$ n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout $t\ne 0$, on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre $t^2+|u|$ et $t^2+|v|$ tel que

$\sqrt{t^2+|u|}-\sqrt{t^2+|v|}=\frac{|u|-|v|}{2\sqrt{c}}$

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

$|\sqrt{t^2+|u|}-\sqrt{t^2+|v|}|\le \frac{|u-v|}{2|t|}$

pour tout $u,v\in ℝ$ et pour tout $t\ne 0$. On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes et références

• Denis Bonheure, Équations différentielles ordinaires, notes de cours de l'Université catholique de Louvain
• Modèle:Article

Voir aussi

Le critère d'Osgood dans Modèle:Ouvrage, qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.