Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue.

Énoncé

Soient

• $f:K\to {ℝ}^n$ une fonction continue à valeurs dans ${ℝ}^n$, définie sur un cylindre compact $K:=[t_0-a,t_0+a]\times \overline{B(x_0,r)}\subset ℝ\times {ℝ}^n$,
• $M$ un majorant de la norme de $f$ sur $K$,
• $c=\text{min}(a,r/M)$.

Alors, il existe une solution

$x:[t_0-c,t_0+c]\to \overline{B(x_0,r)}$

au problème de Cauchy

$x(t_0)=x_0\text{ et }{x}^{\prime }=f(t,x).$

On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en $t_0$ par des demi-intervalles d'extrémité $t_0$.

N. B. Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

Exemples

Les exemples suivants sont donnés par Peano.

L'équation $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3x^{2/3}$ où le second membre est continu en $x=0$ sans être lipschitzien, admet les solutions $x=t^3$ et $x=0$ qui s'annulent toutes les deux en $t=0$ ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle $[0,a]$ et qui prennent la valeur $(t-a{)}^3$ pour $t>a$.

L'équation $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{4x{t}^3}{x^2+t^4}$, toujours avec la condition $x(0)=0$, admet les cinq solutions ($C$ étant une constante arbitraire positive) :

$x(t)=t^2$

$x(t)=-t^2$

$x(t)=0$

$x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}$

$x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C$

Esquisse de démonstration

On construit par la méthode d'Euler une suite de fonctions M-lipschitziennes affines par morceaux

$x_n:[t_0-c,t_0+c]\to \overline{B(x_0,r)}$

qui sont des « solutions approchées » de ce problème de Cauchy au sens où pour tout entier n > 0,

$x_n(t_0)=x_0\text{et}\Vert x{\text{'}}_n(t)-f(t,x_n(t))\Vert \le 1/n$

(pour tout point t en lequel Modèle:Math est dérivable).

Le théorème d'Ascoli permet d'en extraire une sous-suite uniformément convergente. On montre alors (en utilisant la continuité uniforme de Modèle:Math) que la limite Modèle:Math vérifie

$\mathrm{\forall }t\in [t_0-c,t_0+c],x(t)=x_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm{d}\tau .$

D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, Modèle:Math est donc une « solution exacte » du problème de Cauchy.

Cas des espaces de Banach

La généralisation « naïve » de l'énoncé aux espaces de dimension infinie est drastiquement fausse :

• pour tout espace de Banach $E$ de dimension infinie, il existe un problème de Cauchy (associé à une fonction continue $f:ℝ\times E\to E$) ne possédant pas de solution locale (par translations, les données initiales $t_0$, $x_0$ peuvent être choisies arbitrairement dans un tel contre-exemple) ;
• si $E$ possède un quotient séparable de dimension infinie, il existe même une fonction continue $f:E\to E$ pour laquelle l'équation différentielle autonome associée $x^{\prime }=f(x)$ n'a aucune solution locale (quelle que soit la condition initiale).

Cependant, le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà se généralise en remplaçant ${ℝ}^n$ par un espace de Banach, à condition d'ajouter l'hypothèse (redondante en dimension finie) que l'application continue $f$ est compacte. Pour le démontrer, on utilise encore le théorème d'Ascoli, mais aussi le théorème du point fixe de Schauder.

Voir aussi

Articles connexes

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