Cycle (géométrie algébrique)

Modèle:Homon En géométrie algébrique, les cycles sont des combinaisons formelles de fermés irréductibles d'un schéma donné. Le quotient du groupe des cycles par une relation d'équivalence convenable aboutit aux Modèle:Lien qui sont des objets fondamentaux.

Tous les schémas considérés ici seront supposés noethériens de dimension finie.

Définition

On fixe un schéma $X$ qu'on supposera noethérien de dimension finie $d$. Pour tout entier positif ou nul $p$, on appelle $p$-cycle irréductible (resp. $p$-cocycle irréductible) de $X$ un fermé irréductible de dimension $p$ (resp. codimension $p$). Un $p$-cycle est une combinaison formelle finie

• $\sum _i{n}_i[Z_i]$

où les coefficients $n_i$ sont des entiers relatifs, et où les $Z_i$ sont des $p$-cycles irréductibles. On définit similairement les $p$-cocycles. L'ensemble des $p$-cycles est un groupe commutatif, qui est d'ailleurs le groupe abélien libre engendré par les fermés irréductibles de dimension $p$ de $X$. On note ce groupe $Z_p(X)$. Similairement, le groupe des cocycles est noté $Z^p(X)$. On remarque que ces groupes sont nuls si $p>n$.

Les 1-cocycles s'appellent les diviseurs de Weil. Ce sont donc des combinaisons entières de fermés irréductibles de codimension 1. Rappelons qu'un fermé irréductible est de codimension 1 si ce n'est pas une composante irréductible de $X$, et si tout fermé irréductible qui le contient strictement est une composante irréductible de $X$.

La somme directe (finie) des $Z_p(X)$ est le groupe des cycles de $X$.

Exemples

• Le groupe $Z^0(X)$ est engendré par les composantes irréductibles de $X$.

• Le groupe $Z_d(X)$ est engendré par les composantes irréductibles de $X$ de dimension maximale.

• Le groupe $Z_0(X)$ est engendré par les points fermés de $X$. Ce sont les 0-cycles.

• Le groupe $Z^d(X)$ est engendré certains points fermés (ceux qui sont de codimension $d$).

• Supposons que $X$ soit irréductible de dimension 1. Alors $Z_0(X)=Z^1(X)$.

Diviseur principal et cycle principal

Soit $A$ un anneau local noethérien de dimension 1. Soit $f$ un élément régulier non inversible de $A$. On définit l'ordre de $f$ comme étant la longueur du $A$-module artinien $A/fA$. Notons-le $\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}(f)$. On montre que l'application ord est additif et induit donc un homomorphisme de groupes $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A{)}^{*}\to \mathbb{Z}$ où $\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}(A)$ désigne l'anneau total des fractions de $A$. Noter que si $A$ est intègre, l'anneau total des fractions est simplement le corps des fractions.

Supposons $X$ intègre. Soit $f$ une fonction rationnelle non nulle sur $X$ (c'est donc un élément du corps des fractions de $O_X(U)$ pour tout ouvert $U$). Pour tout fermé irréductible $Z$ de codimension 1, de point générique $\xi$, l'anneau local $O_{X,\xi }$ est de dimension 1. On note ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\xi }(f)$ l'ordre de la fraction $f$ dans l'anneau local $O_{X,\xi }$. On pose

• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(f)=\sum _{\xi }{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\xi }(f)[Z_{\xi }]$

où la somme parcourt les points $\xi$ de codimension 1, et où par commodité dactylographique $Z_{\xi }$ est l'adhérence de Zariski de $\{\xi \}$ (c'est un 1-cocycle irréductible). On montre aisément (parce que $X$ est noethérien) que c'est une somme finie. On a donc un diviseur de Weil. Un tel diviseur est appelé un diviseur principal sur $X$. On a

• $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(fg)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(f)+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(g)$

et $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(1)=0$.

Par extension, les diviseurs principaux des fermés irréductibles de $X$ forment un sous-groupe de $Z(X)$ appelé le groupe des cycles principaux de $X$. Par exemple si $X$ est de dimension 2, il y aura des diviseurs principaux de $X$, mais aussi des 0-cycles qui sont principaux dans des fermés irréductibles de dimension 1 de $X$.

On note $\mathrm{C}\mathrm{H}(X)$ le groupe quotient de $Z(X)$ par le sous-groupe des cycles principaux. Les images de $Z^p(X)$ et de $Z_p(X)$ dans $\mathrm{C}\mathrm{H}(X)$ sont notées ${\mathrm{C}\mathrm{H}}^p(X)$ et ${\mathrm{C}\mathrm{H}}_p(X)$. Ce sont les groupes de Modèle:Lien de $X$.

On dira, même si cela comporte des pathologies en dehors des variétés algébriques intègres, que deux cycles sur $X$ sont rationnellement équivalents si leur différence appartient au groupe des cycles principaux.

Degré d'un 0-cycle

On suppose que $X$ est une variété algébrique sur un corps $k$ (i.e. c'est un $k$-schéma de type fini). Pour tout point fermé $x$ (donc 0-cycle irréductible), le corps résiduel $k(x)$ est une extension finie de $k$. Si $Z=\sum _i{n}_i[x_i]$ est un 0-cycle, on définit son degré par $\mathrm{deg}Z=\sum _i{n}_i[k(x_i):k].$ C'est un entier qui dépend du corps de base $k$. L'application degré est un homomorphisme $Z_0(X)\to$ℤ.

Cela veut dire que dans le cas des variétés algébriques propres, l'application degré induit un homomorphisme de groupes ${\mathrm{C}\mathrm{H}}_0(X)\to \mathbb{Z}.$

• Corollaire. Soit $X$ une courbe projective sur un corps, alors l'application degré induit un homomorphisme de groupes de $C{H}^1(X)=C{H}_0(X)$ dans $\mathbb{Z}$.

Fonctorialité

Soit $f:X\to Y$ un morphisme. Soit $Z$ un fermé irréductible, de point générique $\xi$. On pose

• $f_{*}[Z]=[k(\xi ):k(f(\xi )][f(Z)]$ si l'extension $k(\xi )/k(f(\xi ))$ est finie, et $f_{*}[Z]=0$ sinon.

Ceci induit un homomorphisme de groupes $f_{*}:Z(X)\to Z(Y)$. Lorsque $Y$ est le spectre d'un corps $k$ et que $f$ est de type fini, pour tout 0-cycle $Z$, on a $f_{*}Z=(\mathrm{deg}Z).e$ où $e$ est l'unique 0-cycle de Spec k.

Références bibliographiques

William Fulton, Intersection Theory, Modèle:2e éd., Springer, 1998