Décomposition d'Adomian

La décomposition d'Adomian est une méthode semi-analytique de résolution d'équations différentielles développée par le mathématicien américain Modèle:Lien durant la seconde partie du Modèle:S-. On rencontre fréquemment l'utilisation d'ADM pour Modèle:Lang.

Généralités

On considère le problème de Cauchy suivant :

$\frac{dy}{dt}=f(t,y)\text{et}y(0)=y_0$

Cette équation vérifiée par Modèle:Math est générale dans la mesure où Modèle:Math peut être à valeurs vectorielles et que nous n'avons pas de condition sur Modèle:Math. Il faut bien noter que dans cette méthode, il est plus commode de considérer Modèle:Math comme un vecteur et Modèle:Math comme une fonction pour éviter des confusions :

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ\times {ℝ}^d& \to & {ℝ}^d\\ & (t,y)& \mapsto & f(t,y)\end{array}$

Considérant que Modèle:Math est analytique proche de Modèle:Math et Modèle:Math, résoudre le problème initial revient à résoudre :

$y(t)=y_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))\mathrm{d}s$

Méthode d'Adomian

La méthode d'Adomian consiste à décomposer Modèle:Math comme une série :

$y=y_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$

et à décomposer de la même manière la fonction Modèle:Math :

$f(t,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n(t,y_0,y_1,...,y_n),$

où les fonctions Modèle:Math sont les polynômes d'Adomian, calculés formellement comme-ci :

$A_n=\frac{1}{n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{\epsilon }^n}f(t,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i{\epsilon }^i){|}_{\epsilon =0}.$

En injectant les deux premières décompositions dans l'équation intégrale, on peut en déduire une méthode itérative de calcul des Modèle:Math :

$y_{n+1}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{A}_n(s,y_0(s)...,y_n(s))\mathrm{d}s$

Pouvant calculer à la suite chaque Modèle:Math, on construit au fur et à mesure la solution finale Modèle:Math par sommation.

Polynômes en dimension 1

Dans cette section on se restreint à Modèle:Math. Les premiers polynômes d'Adomian (les dérivées correspondent à des dérivées partielles par rapport à Modèle:Math) sont alors :

$A_0=\frac{1}{0!}f(t,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i{\epsilon }^i){|}_{\epsilon =0}=f(t,y_0),$

$A_1=\frac{1}{1!}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon }f(t,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i{\epsilon }^i){|}_{\epsilon =0}=y_1\frac{\partial }{\partial y}f(t,y_0),$

$A_2=\frac{1}{2!}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\epsilon }^2}f(t,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i{\epsilon }^i){|}_{\epsilon =0}=y_2\frac{\partial }{\partial y}f(t,y_0)+\frac{1}{2}{y}_1\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}f(t,y_0).$

Bibliographie

• Abdelrazec, Ahmed. Adomian Decomposition Method : Convergence Analysis and Numerical Approximations [En ligne] (Thesis, Mathematics) McMaster University (Hamilton, Ontario), 2008 lien
• Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers

Voir aussi

• Résolution numérique des équations différentielles