Déplacement virtuel

Force de contrainte C et déplacement virtuel δr pour une particule de masse m confinée dans une courbe. La force non contraignante résultante est N. Les composantes du déplacement virtuel sont liées par une équation de contrainte.

En mécanique lagrangienne, un déplacement virtuel est un déplacement théorique d'un système physique qui est atemporel, infinitésimal, ne respecte pas obligatoirement les forces appliquées au système, mais respecte ses contraintes holonomes.

Respecter les contraintes signifie que si la position $\{q_1,q_2,...,q_n,t\}$ est réaliste (est conforme aux hypothèses) pour le système, alors la position $\{q_1+\delta q_1,q_2+\delta q_2,...,q_n+\delta q_n,t\}$ aussi.

Dans le cas d'une contrainte holonome on a donc $f(q_1,q_2,...,q_n,t)=0$ et $f(q_1+\delta q_1,q_2+\delta q_2,...,q_n+\delta q_n,t)=0$, d'où, au premier ordre, $\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial q_i}.\delta q_i=0$, ce qui est une contrainte entre les $\delta q_j$. On peut justifier que le vecteur ${\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\right)}_i$ est proportionnel à la force de contrainte généralisée associée, le coefficient de proportionnalité étant nommé multiplicateur de Lagrange.

Avec le principe de D’Alembert, les déplacements virtuels permettent de ne tenir compte, dans les équations, que des forces appliquées au système et d'éliminer celles dues aux contraintes. Toutefois, dans certains cas, il est préférable de tenir compte de ces dernières en utilisant les multiplicateurs de Lagrange.

En termes mathématiques, un déplacement virtuel est un vecteur tangent à la variété, imposée par les contraintes, dans laquelle évolue le système au cours du temps. Si le système est décrit par N vecteurs positions de l'espace physique, cette variété est plongée dans ${ℝ}^{3N}$, si le système est décrit par n coordonnées généralisées, alors cette variété est plongée dans ${ℝ}^n$.

Si les coordonnées sont données par N vecteurs ${\overrightarrow{r}}_i$, un déplacement infinitésimal est noté ${\left(d{\overrightarrow{r}}_i\right)}_{i=1,...,N}$ et nécessite un temps infinitésimal $dt$. Un déplacement virtuel est noté ${\left(\delta {\overrightarrow{r}}_i\right)}_{i=1,...,N}$ et nécessite un temps nul.

Si les coordonnées sont données par n coordonnées généralisées $\{q_1,q_2,...,q_n\}$, un déplacement infinitésimal est noté ${\left(d{q}_j\right)}_{j=1,...,n}$ et nécessite un temps infinitésimal $dt$, et on a $d{\overrightarrow{r}}_i=\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_j}.d{q}_j+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial t}.dt$. Un déplacement virtuel est noté ${\left(\delta q_j\right)}_{i=1,...,N}$ et nécessite un temps nul, et on a $\delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_j}.\delta q_j$.

Le travail d'un déplacement virtuel est lui aussi virtuel.

Bibliographie

• Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac ; Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, éditeur EDP-Sciences, 2002, 467 pages Modèle:ISBN.