Dérivée seconde discrète

Modèle:Ébauche En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l'opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l'approximation de cette dérivée faite en prenant deux points séparés d'une distance non infinitésimale.

Définition

Soit une fonction f de la variable réelle x. On pose δx une quantité supposée « petite ». Alors la dérivée seconde discrète de f en un point x est la fonction :

$D^{2}f:x\mapsto \frac{f(x+\delta x)+f(x-\delta x)-2f\left(x\right)}{\delta x^2}$

Lorsque $\delta x\to 0$, on retrouve la dérivée usuelle, définie par la valeur limite du rapport ci-dessus.

Exemple

Soit la fonction z définie par :

$z:t\mapsto -\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+V_0\cdot t+Z_0$

Cette fonction correspond à la position d'un point matériel en chute libre, lancé verticalement à une vitesse V₀ d'une hauteur Z₀.

La dérivée seconde exacte de cette fonction est :

$\ddot{z}\left(t\right)=-g$

La dérivée seconde discrète est :

$D^{2}z\left(t\right)=\frac{z(t+\delta t)+z(t-\delta t)-2z\left(t\right)}{\delta t^2}=-g$

Dans ce cas précis, la dérivée seconde discrète donne un résultat exact — dans la plupart des cas en revanche, et en particulier si la fonction n'est pas assez régulière, une erreur peut s'accumuler et donner des résultats aberrants.

Voir aussi

• Différence finie
• Laplacien discret.