Déterminant de Hurwitz

Les déterminants de Hurwitz sont nommés en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Soit $P$ un polynôme en la variable $\lambda$ de la forme:

$P(\lambda )=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0$

où $a_i$ est un nombre réel, pour tout $i$ dans $\{1,\dots ,n\}$.

La matrice de Hurwitz (matrice carrée) associée à $P$ est la matrice H donnée ci-dessous ou sa transposée:

$H=\left(\begin{array}{cccccccc}{a}_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& \dots & \dots & 0& \dots & 0\\ a_n& a_{n-2}& a_{n-4}& & & ⋮& & ⋮\\ 0& a_{n-1}& a_{n-3}& & & 0& & ⋮\\ ⋮& a_n& & \ddots & & a_0& ⋮& ⋮\\ ⋮& 0& & & \ddots & a_1& 0& ⋮\\ ⋮& ⋮& 0& & & a_2& a_0& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮& & & a_3& a_1& 0\\ 0& 0& 0& \dots & \dots & a_4& a_2& a_0\end{array}\right).$

Le i-ème déterminant de Hurwitz est le déterminant du i-ème mineur principal de la matrice de Hurwitz H donnée ci-dessus. Il y a n déterminants de Hurwitz pour un polynôme caractéristique de degré n.