Diagramme ternaire

Diagramme d'inflammabilité du méthane. Zone en orange : compositions inflammables. Ligne en bleu : mélanges méthane-air. Ligne en rouge : oxygène et méthane dans les proportions stœchiométriques de la combustion. Ligne en brun : 12 % d'oxygène.

Couleur des alliages Ag–Au–Cu, en fonction de leur composition.

Un diagramme ternaire est la représentation graphique de triplets de données numériques par les points d'un triangle. Chaque triplet (Modèle:Mvar) constitue les coordonnées barycentriques du point correspondant. On peut aussi représenter des ensembles de points dépendant d'un ou deux paramètres (ensembles à une ou deux dimensions), formant ainsi des lignes et des plages dans le diagramme. On utilise le plus souvent un triangle équilatéral, mais ce n’est pas indispensable.

Le diagramme ternaire est appliqué dans de nombreuses disciplines telles la chimie, la biologie, la géologie ou la géographie.

Caractéristiques d'un diagramme ternaire

Droites d'égales valeurs de Modèle:Mvar (bleu) Modèle:Mvar (vert) et Modèle:Mvar (rouge).

Propriétés des sécantes.

Propriété des distances aux côtés (seulement dans le cas d'un triangle équilatéral).

Normalisation préalable des données

On impose généralement aux données (Modèle:Mvar) d'un même triplet d'avoir une somme constante Modèle:Mvar, le plus souvent égale à 1 ou à 100 (sous-entendu, 100 %). Si les données d'origine (Modèle:Mvar) ne vérifient pas d'emblée cette contrainte, on les remplace par :

$a=\frac{s\alpha }{\alpha +\beta +\gamma }$ , $b=\frac{s\beta }{\alpha +\beta +\gamma }$ , $c=\frac{s\gamma }{\alpha +\beta +\gamma }$ .

On dit alors que les données ont été « normées à Modèle:Mvar ». Modèle:Attention

Définition et propriétés

Soient Modèle:Math et Modèle:Math les sommets du triangle. Tout triplet (Modèle:Mvar) est représenté par un point Modèle:Math défini par :

$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}=a\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}+b\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}+c\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{C}}$ .

où Modèle:Math désigne un point-origine quelconque (il peut même se situer en dehors du plan du triangle). Il en résulte notamment que :

• les triplets (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) sont représentés par les points Modèle:Math et Modèle:Math, respectivement ;
• les triplets vérifiant Modèle:Math sont représentés par les points du côté Modèle:Math ; les triplets vérifiant Modèle:Math sont de même représentés par les points du côté Modèle:Math, et ceux vérifiant Modèle:Math par les points du côté Modèle:Math ;
• les triplets partageant une même valeur de Modèle:Mvar sont représentés par les points d'un segment Modèle:Math parallèle à Modèle:Math (le point Modèle:Math est situé sur le segment Modèle:Math, et Modèle:Math sur Modèle:Math) ; les triplets partageant une même valeur de Modèle:Mvar sont de même représentés par les points d'un segment Modèle:Math parallèle à Modèle:Math, et ceux partageant une même valeur de Modèle:Mvar par les points d'un segment Modèle:Math parallèle à Modèle:Math ;
• les triplets dont les données Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont dans un même rapport Modèle:Mvar sont représentés par les points d'un segment Modèle:MathModèle:Ind reliant le sommet Modèle:Math à un point Modèle:Math du segment Modèle:Math ; les triplets tels que Modèle:Mvar sont de même représentés par les points d’un segment Modèle:Math où Modèle:Math est un point de Modèle:Math, et ceux tels que Modèle:Mvar par les points d’un segment Modèle:Math où Modèle:Math est un point de Modèle:Math ;
• les aires des triangles Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont respectivement proportionnelles à Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
• seulement quand le triangle Modèle:Math est équilatéral (mais c'est l'usage ordinaire), les distances du point Modèle:Math aux côtés Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont proportionnelles à Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

Report de données dans le triangle

Il existe principalement deux méthodes pour construire le point Modèle:Math qui représente un triplet de données (Modèle:Mvar) : le calcul de ses coordonnées et le report graphique.

Calcul des coordonnées

Cette méthode suppose qu'on ait défini un repère. Le plus souvent on choisit un repère plan et orthonormé, mais ce n'est pas indispensable. D'après la définition ci-dessus du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$, les coordonnées du point Modèle:Math sont :

$\{\begin{array}{c}x=a{x}_{\mathrm{A}}+b{x}_{\mathrm{B}}+c{x}_{\mathrm{C}}\\ y=a{y}_{\mathrm{A}}+b{y}_{\mathrm{B}}+c{y}_{\mathrm{C}}\end{array}$

(plus une relation similaire pour la Modèle:3e coordonnée si jamais l'on a choisi un repère à trois dimensions), où $x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}},x_{\mathrm{B}}$Modèle:Etc., désignent les coordonnées des sommets Modèle:Math et Modèle:Math. Cette méthode est particulièrement adaptée au report de données par ordinateur, sur un diagramme qui sera ensuite imprimé.

Quand le triangle Modèle:Math est équilatéral, les coordonnées des sommets Modèle:Math et Modèle:Math peuvent par exemple être prises égales à :

• $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0,0)$ et $(1,0)$ en prenant l'origine en Modèle:Math et l'axe Modèle:Math parallèle à $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ et de même sens ;
• $(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6})$ et $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6})$ en prenant l'origine au centre du triangle et l'axe Modèle:Math parallèle à $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ et de même sens.

Report graphique

Diagramme ternaire gradué.

Le point Modèle:Math est à l'intersection commune des segments ${\mathrm{B}}_a{\mathrm{C}}_a$, ${\mathrm{C}}_b{\mathrm{A}}_b$ et ${\mathrm{A}}_c{\mathrm{B}}_c$ respectivement parallèles aux côtés Modèle:Math et Modèle:Math, dont les sommets sont situés sur les côtés (${\mathrm{A}}_b$ et ${\mathrm{B}}_a$ sur Modèle:Math, ${\mathrm{B}}_c$ et ${\mathrm{C}}_b$ sur Modèle:Math et ${\mathrm{C}}_a$ et ${\mathrm{A}}_c$ sur Modèle:Math), et tels que :

$\frac{{\mathrm{A}\mathrm{B}}_a}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{{\mathrm{A}\mathrm{C}}_a}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=a$, $\frac{{\mathrm{B}\mathrm{C}}_b}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{{\mathrm{B}\mathrm{A}}_b}{\mathrm{B}\mathrm{A}}=b$ et $\frac{{\mathrm{A}\mathrm{B}}_c}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{{\mathrm{C}\mathrm{B}}_c}{\mathrm{C}\mathrm{B}}=c$.

Le report graphique de Modèle:Math est facilité si l'on dispose d'un triangle vierge préalablement gradué sur les trois côtés (ci-contre).

Deux des trois segments suffisent à construire le point Modèle:Math, mais il est prudent de tracer les trois afin de se prémunir d'une possible erreur.

Exemple : Représentation graphique de la composition d'un sol Modèle:Images Modèle:Clr

Lecture des données dans un diagramme ternaire

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le triplet de données (Modèle:Mvar) représenté par un point Modèle:Math du diagramme.

Utilisation d'un repère cartésien

Si l'on connaît les coordonnées Modèle:Mvar et Modèle:Mvar du point Modèle:Math dans un repère cartésien, on obtient le triplet (Modèle:Mvar) en résolvant le système d'équations :

$\{\begin{array}{c}a{x}_{\mathrm{A}}+b{x}_{\mathrm{B}}+c{x}_{\mathrm{C}}=x\\ a{y}_{\mathrm{A}}+b{y}_{\mathrm{B}}+c{y}_{\mathrm{C}}=y\\ a+b+c=1\end{array}$

où $x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}},x_{\mathrm{B}}$Modèle:Etc., désignent les coordonnées des sommets Modèle:Math et Modèle:Math.

Pour que cette méthode soit commode il faut disposer d'un programme sur ordinateur ou d'une calculette permettant la résolution immédiate d'un système d'équations linéaires.

Lecture graphique

Pour connaître les valeurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar que représente un point Modèle:Math d'un diagramme ternaire Modèle:Math, on peut, au choix :

• tracer les droites Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, qui recoupent les côtés Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math respectivement en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math :

  $a=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{M}}_a}{{\mathrm{A}\mathrm{M}}_a}$, $b=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{M}}_b}{{\mathrm{B}\mathrm{M}}_b}$, $c=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{M}}_c}{{\mathrm{C}\mathrm{M}}_c}$ ;

  

  Report graphique ou lecture directe sur un diagramme ternaire gradué.

• tracer les droites passant par Modèle:Math et parallèles aux côtés Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, qui recoupent respectivement Modèle:Math et Modèle:Math en ${\mathrm{B}}_a$ et ${\mathrm{C}}_a$, Modèle:Math et Modèle:Math en ${\mathrm{C}}_b$ et ${\mathrm{A}}_b$ et Modèle:Math et Modèle:Math en ${\mathrm{A}}_c$ et ${\mathrm{B}}_c$ :

  $a=\frac{{\mathrm{B}}_a\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\frac{{\mathrm{C}}_a\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=1-\frac{{\mathrm{B}}_a{\mathrm{C}}_a}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$, $b=\frac{{\mathrm{C}}_b\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\frac{{\mathrm{A}}_b\mathrm{A}}{\mathrm{B}\mathrm{A}}=1-\frac{{\mathrm{C}}_b{\mathrm{A}}_b}{\mathrm{C}\mathrm{A}}$, $c=\frac{{\mathrm{A}}_c\mathrm{A}}{\mathrm{C}\mathrm{A}}=\frac{{\mathrm{B}}_c\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{B}}=1-\frac{{\mathrm{A}}_c{\mathrm{B}}_c}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ ;

• seulement quand le triangle Modèle:Math est équilatéral, tracer les perpendiculaires de Modèle:Math à Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, qui recoupent ces segments en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math :

  $a=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{H}}_a}{h}$, $b=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{H}}_b}{h}$, $c=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{H}}_c}{h}$ où $h={\mathrm{M}\mathrm{H}}_a+{\mathrm{M}\mathrm{H}}_b+{\mathrm{M}\mathrm{H}}_c$ (Modèle:Mvar est aussi la valeur commune des trois hauteurs du triangle).

L'obtention de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est facilitée si le diagramme est gradué, la première des trois méthodes ci-dessus étant alors remplacée par la lecture directe (ou l'interpolation entre deux valeurs) de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sur les côtés gradués.

Applications

Les diagrammes ternaires sont couramment utilisés dans différentes disciplines scientifiques comme la chimie physique, la pétrologie, la minéralogie et la métallurgie, notamment pour représenter la composition chimique de systèmes formés entièrement ou principalement de trois constituants.

Génétique des populations

En génétique des populations on utilise un diagramme ternaire pour comparer la fréquence de trois génotypes, sous le nom de Modèle:Lien.

Géographie

Diagramme triangulaire publié par Enequist et Bäck en 1966.

Le graphique compare plusieurs territoires selon trois valeurs en pourcentage ce qui permet d'aboutir à une classification. Dans leur article, publié en 1966, Lennart Bäck et Gerd Enequist appliquent pour la première fois cette méthode à la géographieModèle:,. L'exemple porte sur le pourcentage d'emplois dans trois grands groupes : l'agriculture, l'industrie et les services, en comparant une petite vingtaine de villes. Cette représentation permet de comprendre les variations régionales, la structuration des zones résidentielles et la dominance économique d'une unité urbaine.

Voir aussi

Articles connexes

• Diagramme de phase

Modèle:Portail