Dimension homologique

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En algèbre, la dimension homologique d'un anneau R diffère en général de sa dimension de Krull et se définit à partir des résolutions projectives ou injectives des R-modules. On définit également la dimension faible à partir des résolutions plates des R-modules. La dimension de Krull (respectivement homologique, faible) de R peut être vue comme une mesure de l'éloignement de cet anneau par rapport à la classe des anneaux artiniens (resp. semi-simples, Modèle:Lien), cette dimension étant nulle si, et seulement si R est artinien (resp. semi-simple, régulier au sens de von Neumann). Dans le cas d'un anneau commutatif noethérien R, ces trois dimensions coïncident si R est régulier, en particulier si sa dimension homologique est finie^[1]Modèle:,^[2].

Résolutions

Soit $M$ un R-module. La suite exacte Modèle:Retraitest appelée une résolution gauche de $M$ . Si pour tout $i$ , le module $E_{i}$ est projectif (respectivement plat, libre), cette résolution est dite projective (resp. plate, libre). Si $E_{n} \neq 0$ et $E_{i} = 0$ pour tout $i > n$ , cette résolution est dite de longueur $n$ . S'il n'existe pas de tel entier $n$ , cette résolution est dite de longueur infinie.
La suite exacteModèle:Retraitest appelée une résolution droite de $M$ . Si pour tout $i$ , le module $E^{i}$ est injectif, cette résolution est dite injective. On définit comme plus haut la longueur d'une résolution injective.
Tout R-module $M$ admet des résolutions libres, et donc des résolutions projectives et plates. Tout R-module $M$ admet également des résolutions injectives^[3].

Dimensions d'un module

Dans ce qui suit, $\overline{ℤ} = ℤ \cup {- \infty, + \infty}$ et l'on prend pour convention que pour tout $n \in ℤ$ , $- \infty < n < + \infty$ , $- \infty + n = - \infty$ et $+ \infty + n = + \infty$ .
Soit $M$ un R-module à gauche. Sa dimension projective (resp. injective, plate), notée $d p_{R} (M)$ (resp. $d i_{R} (M), d f_{R} (M)$ ^[4]) est la borne inférieure dans $\overline{ℤ}$ des longueurs des résolutions projectives (resp. injectives, plates) de $M$ .
On a $d p_{R} (0) = d i_{R} (0) = d f_{R} (0) = - \infty$ .
Pour que $M$ soit projectif (resp. injectif, plat) il faut et il suffit que $d p_{R} (M) \leq 0$ (resp. $d i_{R} (M) \leq 0, d f_{R} (M) \leq 0$ ).

Dimensions d'un anneau

Nous ne revenons pas ici sur la dimension de Krull.

Dimension homologique

Soit $_{R} M o d$ la catégorie des R-modules à gauche. Les quantités suivantes sont égales^[5] :

$\sup {d p_{R} (M) : M \in_{R} M o d}$
$\sup {d i_{R} (M) : M \in_{R} M o d}$

Leur valeur commune est appelée la dimension globale à gauche de R et est notée dans ce qui suit $d g g (R)$ . Cette quantité est la borne supérieure dans $\overline{ℤ}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe deux R-modules à gauche $M$ et $N$ tels que $E x t_{R}^{n} (M, N) \neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé)^[6].

On définit de même la dimension globale à droite de R, notée dans ce qui suit $d g d (R)$ .

Lorsque $d g g (R)$ = $d g d (R)$ (c'est évidemment le cas lorsque R est commutatif), leur valeur commune est appelée la dimension globale de R et est notée $d g (R)$ ^[7].
La notion de dimension globale s'étend au cas d'une catégorie abélienne quelconque $ℭ$ de sorte que, si ${ℭ =}_{R} M o d$ (resp. $ℭ = M o d_{R}$ ), cette dimension $d g (ℭ)$ coïncide avec la quantité $d g g (R)$ (resp. $d g d (R)$ ) définie plus haut^[8].

Dimension faible

Les quantités suivantes sont égales^[9] :

$\sup {d f_{R} (M) : M \in_{R} M o d},$
$\sup {d f_{R} (M) : M \in M o d_{R}} .$

Leur valeur commune est appelée la dimension globale faible de R, notée $d g f (R)$ dans ce qui suit^[10]. Cette quantité est la borne supérieure dans $\overline{ℤ}$ des quantités $n$ pour lesquelles il existe un R-module à droite $M$ et un module à gauche $N$ tels que $T o r_{n}^{R} (M, N) \neq 0$ (voir l'article Foncteur dérivé).

Propriétés

On a $d g (0) = d g f (0) = - \infty$ .
On a $d g f (R) \leq d g g (R)$ avec égalité si R est noethérien à gauche.
Si R est noethérien, on a $d g f (R) = d g g (R) = d g d (R) = d g (R)$ .
Soit $A$ un anneau commutatif ; alors $d g (A [X]) = d g (A) + 1$ (théorème des syzygies de Hilbert). Par conséquent, si $K$ est un corps commutatif (ou, plus généralement, un anneau commutatif semi-simple), $d g (K [X_{1}, . . ., X_{n}]) = n$ ^[11].
Soit R un anneau commutatif, $S \subset R$ un ensemble multiplicatif ne contenant pas de diviseurs de zéro et $T$ le localisé $S^{- 1} R$ . On a $d g (T) \leq d g (R)$ et $d g f (T) \leq d g f (R)$ ^[12].
Un anneau d'Ore R est un anneau de Dedekind qui n'est pas un corps si, et seulement si $d g (R) = 1 .$ ^[5]
Un anneau commutatif intègre R est un Modèle:Lien si, et seulement si $d g f (R) \leq 1$ ^[13].
Un anneau de Bézout commutatif R qui n'est pas principal est un anneau de Prüfer^[14], et vérifie donc $d g f (R) \leq 1$ . En revanche, il n'est pas noethérien, donc n'est pas un anneau de Dedekind, et par suite $d g (R) > 1$ .

Anneaux réguliers

Un anneau R est dit régulier à gauche si tout R-module à gauche de type fini admet une résolution finie. On définit de même un anneau régulier à droite, et un anneau est dit régulier^[15] s'il est régulier à gauche et à droite^[16]Modèle:,^[17].
Si $d g g (R) < + \infty$ , R est évidemment régulier à gauche, mais Nagata a donné en 1962 l'exemple d'un anneau commutatif régulier noethérien de dimension globale infinie^[18].
Si R est un anneau commutatif régulier, alors tout localisé $T = S^{- 1} R$ de R est régulier. Si R est régulier et noethérien, alors il en va de même de $R [X_{1}, . . ., X_{n}]$ ^[19].
Soit R un anneau de Bézout à gauche. Tout R-module à gauche de type fini est de présentation finie, donc R est régulier à gauche^[20].

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ Modèle:Harvsp, 7.1.9 ; Modèle:Harvsp, (5.94), (5.95).
↑ La dimension de Goldie, également appelée dimension uniforme, qui a une signification tout à fait différente, n'est pas traitée ici. Voir par exemple Modèle:Harvsp, §2.2.
↑ Modèle:Harvsp, Prop. 6.2 et 6.4.
↑ Le $f$ de $d f_{R}$ peut être la première lettre du mot anglais flat ou du mot français faible.
↑ ^5,0 et ^5,1 Modèle:Harvsp, 7.1.8.
↑ C'est ce que Modèle:Harvsp (§8.3), qui ne considère que des modules à gauche, appelle la dimension homologique de l'anneau R, et note $d h (R)$ . Il ne définit pas la dimension homologique faible.
↑ Modèle:Harvsp, 7.1.11. Notation anglaise: $l g l d (R)$ pour la dimension globale à gauche, $r g l d (R)$ pour la dimension globale à droite, $g l d (R)$ pour la dimension globale.
↑ Modèle:Harvsp. Il n'est pas nécessaire de supposer que $ℭ$ ait « suffisamment de projectifs » ou « suffisamment d'injectifs ».
↑ Modèle:Harvsp, §7.1.
↑ Notation anglaise : $w g l d (R)$ .
↑ Modèle:Harvsp, §8, Thm. 1.
↑ Modèle:Harvsp. Résultat semblable dans le cas non commutatif en introduisant la notion dModèle:'ensemble dénominateur.
↑ Modèle:Harvsp, Example 8.20.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ À ne pas confondre avec un anneau de von Neumann régulier.
↑ Modèle:Harvsp.
↑ Modèle:Harvsp, exige, avec d'autres auteurs, que, de plus, R soit noethérien à gauche.
↑ Modèle:Harvsp, (5.94) ; Modèle:Harvsp, Appendix.
↑ Modèle:Harvsp, 7.7.3, 7.7.5. Des extensions au cas non commutatif des propriétés énoncées ici sont données dans ces références.
↑ Ceci n'est bien sûr exact que si l'on n'exige pas la propriété noethérienne dans la définition de la régularité.

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