Dioïde

En mathématiques et en informatique, un dioïde est un demi-anneau dans lequel le préordre défini par l'addition est une relation d'ordre.

Définition

Soit D un ensemble muni d'un opérateur binaire $\oplus$, nommé addition, d'un opérateur binaire $\otimes$, nommé produit, et dans lequel sont spécifiés deux éléments distincts, notés 0 et 1.

On note ≤ le préordre associé à l'opérateur $\oplus$ et définie par $a\le b\iff \mathrm{\exists }c,a\oplus c=b$.

On dit que $(D,\oplus ,\otimes ,0,1)$ est un dioïde si :

• $(D,\oplus ,0)$ est un monoïde commutatif ;
• $(D,\otimes ,1)$ est un monoïde ;
• $\otimes$ est distributif par rapport à $\oplus$ ;
• 0 est un élément absorbant pour $\otimes$, c'est-à-dire que $a\otimes 0=0\otimes a=0$ ;
• la relation ≤ est une relation d'ordre, c'est-à-dire que $a\le b\wedge b\le a\Rightarrow a=b$.

Si l'on omet le dernier point, la structure définie est un demi-anneau.

Terminologie

Le nom de dioïde provient du fait qu'il combine deux monoïdes, comme tout demi-anneau (en particulier tout anneau). Ce nom a été employé par Jean Kuntzmann en 1972 pour la structure appelée maintenant demi-anneau. L'utilisation pour désigner un sous-groupe idempotent a été introduite par Baccelli et al. en 1992.

Les dioïdes et les anneaux sont tous deux des demi-anneaux, mais ils sont exclusifs les uns des autres.

Dioïde idempotent

Le dioïde idempotent est la classe de dioïdes la plus utilisée. Il se caractérise le fait que tout élément $a$ est idempotent pour $\oplus$, c'est-à-dire que $a\oplus a=a$.

Par exemple, $([-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[,\max ,+,-\mathrm{\infty },0)$ est un dioïde idempotent.

Tout demi-anneau idempotent est un dioïde. Modèle:Démonstration

Les demi-anneaux idempotents sont donc exactement les dioïdes idempotents.

Voir aussi

• Mathématiques tropicales

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage — Édition en anglais : Modèle:Ouvrage

• Modèle:Lien web

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