Distance d'un point à un plan

La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit dans l'espace:

• Le point A de coordonnées $(x_a,y_a,z_a)$
• Un point M quelconque du plan P
• Le projeté orthogonal H de A sur P, noté $H(x_h,y_h,z_h)$
• Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
• $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ un vecteur normal au plan P

Alors la distance $\delta$ du point A au plan P notée ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}$ vaut :

${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{MA}|}{||\overrightarrow{n}||}$

d'où, ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\frac{|a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Démonstration

Premièrement, on sait que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires, on peut donc écrire :

$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}=\lambda \cdot \overrightarrow{n}$

ce qui revient à,

$\left(\begin{array}{c}{x}_h-x_a\\ y_h-y_a\\ z_h-z_a\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$

Deuxièmement, $\mathrm{H}\in \mathrm{P}$ donc:

$a{x}_h+b{y}_h+c{z}_h+d=0$

Ceci revient à résoudre le système suivant:

$\{\begin{array}{c}{x}_h=\lambda a+x_a\\ y_h=\lambda b+y_a\\ z_h=\lambda c+z_a\\ a{x}_h+b{y}_h+c{z}_h+d=0\end{array}$

La substitution des coordonnées de H dans la Modèle:4e par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

$a(\lambda a+x_{\mathrm{a}})+b(\lambda b+y_{\mathrm{a}})+c(\lambda c+z_{\mathrm{a}})+d=0$.

ou encore :

$a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d+\lambda (a^2+b^2+c^2)=0$.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

$\lambda =-\frac{a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d}{a^2+b^2+c^2}$

Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}$, donc :

${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\Vert \overrightarrow{AH}\Vert =\left|\lambda \right|\Vert \overrightarrow{n}\Vert$

soit ${\delta }_{\mathrm{A},\mathrm{P}}=\left|\frac{-(a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d)}{a^2+b^2+c^2}\right|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

et enfin ${\delta }_{\mathrm{A},P}=\frac{|a{x}_a+b{y}_a+c{z}_a+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Ceci termine la preuve.

Voir aussi

• La notion de distance en mathématiques
• Propriétés métriques des droites et plans
• la projection orthogonale
• Distance d'un point à une droite
• Distance entre deux droites gauches