Distance produit

En mathématiques, une distance produit est une distance définie sur le produit cartésien d'un nombre fini d'espaces métriques qui soit compatible avec la topologie produit.

En particulier, pour n espaces métriques (X₁,d_X1) ... (X_n, d_Xn), on peut définir les distances produit de degré p pour $p\in [1,\mathrm{\infty })$ comme la norme p du vecteur de dimension n dont les coordonnées sont les n distances mesurées dans les différents espaces :

$d_p((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=\Vert (d_{X_1}(x_1,y_1),\dots ,d_{X_n}(x_n,y_n)){\Vert }_p$

Pour $p=\mathrm{\infty }$ cette distance est également appelée distance-sup :

$d_{\mathrm{\infty }}((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n)):=\max \{d_{X_1}(x_1,y_1),\dots ,d_{X_n}(x_n,y_n)\}.$

Choix de la norme

Dans un espace euclidien, on choisira la norme L₂ pour obtenir la distance euclidienne usuelle dans l'espace produit ; toutefois, les normes étant équivalentes, toute autre valeur de p induira la même topologie.

En théorie des catégories on utilise généralement la norme-sup pour le produit (au sens de la théorie des catégories) dans la catégorie des espaces métriques.

Le cas des variétés riemanniennes

Pour deux variétés riemanniennes $(M_1,g_1)$ et $(M_2,g_2)$, la métrique produit $g=g_1\oplus g_2$ sur $M_1\times M_2$ est définie par

$g(X_1+X_2,Y_1+Y_2)=g_1(X_1,Y_1)+g_2(X_2,Y_2)$

pour $X_i,Y_i\in T_{p_i}{M}_i$avec l'identification naturelle $T_{(p_1,p_2)}(M_1\times M_2)=T_{p_1}{M}_1\oplus T_{p_2}{M}_2$.