Divergence de Bregman

Illustration de la définition de la divergence de Bregman dans un espace unidimensionnel

En mathématiques, la divergence de Bregman est une mesure de la différence entre deux distributions dérivée d'une fonction potentiel U à valeurs réelles strictement convexe et continûment différentiable.

Le concept a été introduit par Modèle:Lien en 1967. Par l'intermédiaire de la transformation de Legendre, au potentiel $U$ correspond un potentiel dual $U^{*}$ et leur différentiation donne naissance à deux systèmes de coordonnées duaux.

Définition

Soit $U(x)$ une fonction à valeurs réelles, strictement convexe et continûment différentiable définie sur un domaine convexe fermé $\mathrm{\Omega }$. La divergence de Bregman d'un point $x_1$ de $\mathrm{\Omega }$ par rapport à un autre point $x_0$ de $\mathrm{\Omega }$ est :

$D_U(x_1:x_0)=U(x_1)-U(x_0)-⟨\mathrm{\nabla }U(x_0),(x_1-x_0)⟩$

Propriétés

La divergence de Bregman possède certaines des propriétés d'une distance :

• Positivité : $\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{\Omega },D_U(x:y)\ge 0$.
• Séparation : $\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{\Omega },D_U(x:y)=0\iff x=y$.

Par contre, la symétrie et l'inégalité triangulaire ne sont pas vérifiées, ce qui fait qu'elle n'est pas une distance.

Autres propriétés :

• Convexité : la divergence est convexe par rapport à son premier argument.
• Linéarité : pour deux fonctions convexes U et V à valeur réelle et un réel $\mathrm{\forall }\lambda >0,D_{U+\lambda V}(x:y)=D_U(x:y)+\lambda D_V(x:y)$.
• Dualité : la divergence de Bregman est de nature duale : par transformation de Legendre de $U$, on obtient une fonction $U^{*}$ dont la divergence associée $D_{U^{*}}$ est symétrique par rapport à $D_U$ :

$D_U(x:y)=D_{U^{*}}(y^{*}:x^{*})$.

Les points x et y étant exprimés selon deux systèmes de coordonnées duaux issus de la transformation de Legendre : $x^{*}=\mathrm{\nabla }U(x)$ et $x=\mathrm{\nabla }{U}^{*}(x^{*})$. La divergence peut être réécrite sous la forme :

$D_U(x:y)=U(x)+U^{*}(y^{*})-⟨x\cdot y^{*}⟩$.

Exemples

• La distance de Mahalanobis (et donc le carré de la distance euclidienne) est une divergence de Bregman auto-duale :

$D_U(p:q)=\frac{1}{2}\sum _{ij}{a}_{ij}(p_i-q_i)(p_j-q_j)$,

avec

$U(p)=\frac{1}{2}\sum _{ij}{a}_{ij}{p}_i{p}_j$.

• les α-divergences popularisées par Amari sont un autre exemple.

La divergence entre une distribution p par rapport à une distribution q est définie par :

$D^{(\alpha )}(p:q)=\frac{4}{1-{\alpha }^2}\sum _i\frac{1-\alpha }{2}{p}_i+\frac{1+\alpha }{2}{q}_i-p_i^{\frac{1-\alpha }{2}}\cdot q_i^{\frac{1+\alpha }{2}}$.

La divergence duale de $D^{(\alpha )}$ est $D^{(-\alpha )}$.

Par ailleurs, les α-divergences dérivent des fonctions potentiels :

$U^{(\alpha )}(p)=\frac{2}{1+\alpha }\sum _i{p}_i$

et des coordonnées associées :

$r_i^{(\alpha )}(p)=\frac{2}{1-\alpha }{p}_i^{\frac{1-\alpha }{2}}$.

On a alors la relation de dualité des transformées de Legendre :

$r_i^{(-\alpha )}={\mathrm{\nabla }}_{r^{(\alpha )}}{U}^{(\alpha )}$.

Par ailleurs, avec les notations introduite, la divergence peut être écrite selon sa forme canonique :

$D^{(\alpha )}(p:q)=U^{(\alpha )}(p)+U^{(-\alpha )}(q)-\sum _i{r}_i^{(\alpha )}(p)r_i^{(-\alpha )}(q)$.

Un cas particulier de α-divergence est la divergence de Kullback-Leibler

• La distance de Itakura-Sato :

$D_U(p:q)=\sum _i\frac{p_i}{q_i}-\log \frac{p_i}{q_i}-1$,

avec

$U(p)=\sum _i\log p_i$.