Domaine de Fatou-Bieberbach

En mathématiques, un domaine de Fatou-Bieberbach est un sous-domaine propre de ${ℂ}^n$, équivalent par biholomorphisme à ${ℂ}^n$. Autrement dit, un ensemble ouvert $\mathrm{\Omega }⊊{ℂ}^n$ est appelé un domaine de Fatou–Bieberbach s'il existe une fonction holomorphe bijective $f:\mathrm{\Omega }\to {ℂ}^n$ dont la fonction inverse $f^{-1}:{ℂ}^n\to \mathrm{\Omega }$ est aussi holomorphe.

Une application biholomorphe injective de ${ℂ}^n$ dans ${ℂ}^n$ dont l'image est un sous-ensemble propre de ${ℂ}^n$ est appelée une application de Fatou-Bieberbach et son image est un domaine de Fatou-Bieberbach.

À cause du théorème de l'application conforme, un tel domaine ne peut pas exister pour $n=1$.

Historique

Pierre Fatou a donné en 1922 un exempleModèle:Sfnp d'une application entière de ${ℂ}^2$ dont l'image n'est pas dense dans ${ℂ}^2$.

Ludwig Bieberbach a indiqué quelques années plus tard un exemple injectifModèle:Sfnp.

Ces domaines ont ensuite fait l'objet de nouvelles recherches depuis les années 1980 dans le contexte du développement de l'analyse complexe à plusieurs variables et de la dynamique holomorphe.

Exemple

On considère l'application de ${ℂ}^2$ dans ${ℂ}^2$ :

$F(z_1,z_2)=\frac{1}{2}(z_2,z_1+z_2^2).$

C'est un automorphisme et son inverse est $F^{-1}(z_1,z_2)=2(z_2-2z_1^2,z_1)$.

L'origine est un point fixe d'attraction de $F$, au sens que si un point $z=(z_1,z_2)$ est tel que $\max (|z_1|,|z_2|)<1$, les itérées successives de $z$ par $F$ tendent vers le point $(0,0)$. En fait, le bassin d'attraction de l'origine est l'union des images réciproques du disque unité par les applications $F^{-k}$ (les itérées de l'inverse de $F$).

Ce bassin d'attraction est un domaine de Fatou-BieberbachModèle:Sfnp.

Plus généralement si $F$ est un automorphisme de ${ℂ}^n$ avec un point fixe d'attraction à l'origine, alors le bassin d'attraction de ce point fixe est biholomorphe à ${ℂ}^n$. Si ce n'est pas ${ℂ}^n$ tout entier, c'est un domaine de Fatou-BieberbachModèle:Sfnp.

Voir aussi

Bibliographie

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