Droite de Philon

Droite de Philon (MN) relative à (Ox) et (Oy) et passant par A

En géométrie plane, la droite de Philon est le plus court segment joignant deux demi-droites données (Ox) et (Oy) et passant par un point A donné. Cette droite porte le nom du mathématicien mécanicien Philon de Byzance qui l'aurait mise en place pour résoudre le problème de la duplication du cube.

Propriété caractéristique

Démonstration :

On trace le cercle de diamètre [OA]. Ce cercle rencontre la demi-droite (Ox) en O et B et la demi-droite (Oy) en O et C. Le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN est le point d'intersection de ce cercle avec la droite (MN). Si on suppose que le point A est plus proche de (Ox) que de (Oy), le plus court chemin MN sera obtenu pour un point H situé sur l'arc de cercle (AC).

On appelle Modèle:Mvar la distance OA, Modèle:Mvar la distance OH, φ l'angle AOH, θ_b l'angle AOB et θ_c l'angle AOC. La trigonométrie dans les triangles rectangles permet d'obtenir les relations suivantes :

$NH=h\tan ({\theta }_c-\phi )$

$HM=h\tan ({\theta }_b+\phi )$

$HA=h\tan (\phi )$

$AM=h\tan ({\theta }_b+\phi )-h\tan (\phi )$

$h=a\cos (\phi )$

La distance que l'on cherche à optimiser est alors :

$L(\phi )=a\cos (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))$

La dérivée de L s'exprime alors sous la forme :

$L^{\prime }(\phi )=a\cos (\phi )(-{\tan }^2({\theta }_c-\phi )+{\tan }^2({\theta }_b+\phi ))-a\sin (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))$

$L^{\prime }(\phi )=a\cos (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))(-\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi )-\tan (\phi ))$

$L^{\prime }(\phi )=L(\phi )(-\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi )-\tan (\phi ))=\frac{1}{h}L(\phi )(AM-HN)$

Le signe de la dérivée est donc celui de la différence AM - HN. Lorsque l'angle φ augmente, AM augmente et HN diminue. La différence augmente et passe d'une valeur négative (si H est en A) à une valeur positive (si H est en B) et s'annule donc pour une valeur φ₀.

La longueur L(φ) est donc décroissante puis croissante et atteint son minimum pour une valeur φ₀ telle que AM = HN.

Duplication du cube

Cette construction permet d'insérer deux moyennes proportionnelles entre deux valeurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et en particulier, permet la résolution de la duplication du cube. Philon présente cette méthode dans un ouvrage de mécanique sur la construction d'arme de jet. En effet, il cherchait à doubler la puissance de ses armes et avait conclu que, pour doubler la puissance, il suffisait de doubler le volume de celles-ci.

Moyennes proportionnelles

Pour insérer deux moyennes proportionnelles entre les valeurs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar , il suffit de construire un rectangle OBAC tel que OB = Modèle:Mvar et BA = Modèle:Mvar, de construire la droite de Philon pour les demi-droites [OB) et [OC) passant par A. Le point H fournit les deux moyennes proportionnelles. Si H_c est le projeté orthogonal de H sur (OC), on peut glisser deux moyennes proportionnelles entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar à l'aide de HH_c et OH_c.

En effet,

Puisque NH = AM, les triangles NH_cH et ABM sont égaux, la droite (H_cB) est parallèle à (MN) et l'on peut repérer une série de triangles semblables à NOM : H_cOB, HH_cO, NH_cH d'où l'on tire les égalités de rapports suivantes :

$\frac{OB}{H_{c}O}=\frac{H_{c}O}{H{H}_c}=\frac{H_{c}H}{N{H}_c}$

Soit encore :

$\frac{a}{H_{c}O}=\frac{H_{c}O}{H{H}_c}=\frac{H_{c}H}{b}$

Cette construction permet en outre de déterminer la racine cubique du rapport Modèle:Mvar et les deux longueurs peuvent être déterminées à l'aide de racines cubiques. Si on note Modèle:Mvar = OH_c et Modèle:Mvar = H_cH , on obtient

$\frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{b}=t$

En multipliant ces trois rapports entre eux, on en déduit :

$\frac{a}{b}=t^3$

Soit encore

$t=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$

Ainsi, on obtient

$x=\sqrt[3]{a^{2}b}$

$y=\sqrt[3]{a{b}^2}$

En particulier, en prenant Modèle:Mvar = 1 et Modèle:Mvar = 2, la valeur Modèle:Mvar donne la racine cubique de 2.

Construction

Aucune construction à la règle et au compas ne permet de résoudre la duplication du cube, il en est donc de même de la droite de Philon. Mais elle peut être obtenue à l'aide de l'intersection de deux coniques : le point H est en effet situé sur le cercle de diamètre OA, ainsi que sur l'hyperbole d'équation Modèle:Mvar.

Voir aussi

Liens internes

• Philon de Byzance
• Duplication du cube

Liens externes

• Modèle:En Weisstein, Eric W. "Philo Line." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PhiloLine.html