Décomposition de Schur

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

Modèle:Formule

où U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Démonstration

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires : Modèle:Énoncé

Dans le cas où $v$ est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où $v$ est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension $n\ge 1$ de $E$ le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice $M_v$ associée à $v$ dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir $f_{n+1}$ un vecteur propre normé de $M_v$. On pose $F=\text{Vect}(f_{n+1}{)}^{\perp }$ et on considère l'application linéaire $\tilde{v}={\pi }_F\circ v{|}_F$ où ${\pi }_F$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v{|}_F$ la restriction de $v$ à $F$. Comme $\tilde{v}$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $F$ qui est de dimension $n$, l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée $(f_1,...,f_n)$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde{v}}$ associée à $\tilde{v}$ est triangulaire supérieure. Il est alors clair que $(f_1,...,f_n,f_{n+1})$ forme une base orthonormée dans laquelle la matrice $M_v$ associée à $v$ est triangulaire supérieure.

Si la matrice $M_v$ associée à $v$ dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité $0<\text{rang}(v)<n+1$. On pose alors $F=\text{ker}(v{)}^C$ et on considère l'application linéaire $\tilde{v}={\pi }_F\circ v{|}_F$ où ${\pi }_F$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v{|}_F$ la restriction de $v$ à $F$. Comme $1\le \text{dim}(F)=\text{rang}(v)<n+1$ on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée $(f_1,...,f_{\text{dim}(F)})$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde{v}}$ associée à $\tilde{v}$ est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée $(f_1,...,f_{\text{dim}(F)},f_{\text{dim}(F)+1},...,f_{n+1})$ de $E$. Comme $\text{Vect}(f_{\text{dim}(F)+1},...,f_{n+1})=\text{ker}(v)$, il est clair que la matrice $M_v$ associée à $v$ est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

Propriétés

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe MModèle:,.

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

Modèle:Formule

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.