Dénombrement

Modèle:Confusion En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble. Il s'obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l'aide de techniques combinatoires.

Perception immédiate

Face à une collection d'au plus quatre objets, l'être humain, avant même l'acquisition du langage, et certains animaux semblent avoir une notion immédiate de la quantité présentée sans énumération. Ce phénomène est appelé subitisation.

Il peut être étendu au-delà de quatre dans certaines configurations, comme les points sur les faces d'un dé Modèle:Référence nécessaire. Les nombres figurés peuvent être ainsi plus facilement repérables.

Symbolisation par une même quantité

Les premières évaluations de quantités n'ont pas nécessairement été exprimées à l'aide d'un nombre ou d'une notation chiffrée. Or, de telles évaluations ont pu être utiles pour suivre l'évolution d'un troupeau, d'une production manufacturée, des récoltes ou d'une population humaine, notamment dans les corps d'armée. En l'absence de système de numération, il est possible de représenter chaque élément d'une collection, par exemple, à l'aide d'une encoche sur un morceau de bois ou un os. Un autre exemple est visible dans le film Ivan le Terrible de Sergueï Eisenstein, où avant un combat, les soldats jettent chacun à leur tour une pièce dans un sac.

Comptage

L'évaluation d'une quantité d'objets à l'aide d'un terme particulier nécessite l'établissement d'une liste de termes qui puisse être apprise et transmise. Certains peuples océaniens parcourent ainsi une vingtaine de parties du corps selon un ordre fixe (mais dépendant de la localisation du peuple). Chaque langue a développé un système de désignation des premiers nombres entiers, éventuellement lié à un système de numération particulier.

Le dénombrement consiste alors à parcourir simultanément la chaine numérique et la collection d'objets de façon que chaque objet ne soit considéré qu'une seule fois. La compréhension de cette technique de dénombrement est décomposée en cinq principes :

• principe d'adéquation unique : chaque mot n'est associé qu'à un et un seul élément de la collection ;
• principe d'ordre stable : les mots-nombres sont toujours récités dans le même ordre ;
• principe du cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ;
• principe d'abstraction : les objets peuvent être de natures différentes ;
• principe de non pertinence de l'ordre : les objets peuvent être parcourus dans n'importe quel ordre.

Calcul

Pour des grandes quantités ou pour des ensembles abstraits et en particulier pour des ensembles mathématiques, le dénombrement se fait à l'aide d'opérations arithmétiques ou de considérations combinatoires.

Propriétés fondamentales

• Principe des tiroirs : si l'on dispose de m ensemble(s) et que l'on y range n objet(s) avec n > m, alors au moins un de ces ensembles contiendra plusieurs objets.
  Exemple : dans une classe de 20 élèves, si tous sont nés la même année, alors plusieurs d'entre eux sont forcément nés le même mois.
• Cardinal d'un produit cartésien : si un arbre comporte n branche(s) et que celle(s)-ci comporte(nt) chacune p sous-branche(s), alors cet arbre comporte n × p sous-branche(s).
  Exemple en probabilités élémentaires : supposons qu'on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Si l'on tente d'en deviner l'enseigne (trèfle, carreau, cœur ou pique), on a 1 chance sur 4 de tomber juste. Par ailleurs, si l'on tente d'en deviner la valeur (as, roi, dame, valet, 10Modèle:Etc.), on a 1 chance sur 13 de tomber juste. Enfin, si l'on tente d'en deviner l'enseigne et la valeur, on a une chance sur 52 (4 × 13) de tomber juste.

Dénombrement dans des ensembles finis

Théorèmes fondamentaux

Dans cette section, si A est un ensemble fini, on note $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$ (« cardinal de A ») le nombre de ses éléments. Par exemple, $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\{e,f,g\})=3$.

Modèle:Démonstration/début Pour démontrer le point 1, on peut s'intéresser à l'ensemble des éléments de $E$ qui ont une image par $f$. Si on le note $A$, alors l'application induite par $f$ de $A$ dans $f(E)$ est une bijection. Comme $A$ est un sous-ensemble de $E$, il est fini et $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(f(E))=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$ ≤ $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)$.
Le point 2 vient du fait que lorsque $f$ est injective, tous les éléments de $f(E)$ ont un antécédent unique, donc l'application induite de $E$ dans $f(E)$ est une bijection. Donc $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(f(E))=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)$. Réciproquement si $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(f(E))=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)$, alors $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(E)$ puis il vient que $A=E$. Modèle:Démonstration/fin

Modèle:Théorème Ce corollaire n'est en fait que l'application de la caractérisation des applications injectives dans le cas particulier où l'ensemble d'arrivée de $f$ est $f(E)$.

Propriétés

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration/début En effet soient $f$ une bijection de $E$ dans $[[1,k]]$ et $g$ une bijection de $F$ dans $[[1+k,n+k]]$, alors on peut construire $h$ l'application de $E\cup F$ dans $[[1,n+k]]$ dont la restriction à $E$ est $f$ et celle à $F$ est $g$. Comme $h$ est une bijection, c'est une injection et le corollaire de caractérisation conclut que $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(h(E\cup F))=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}([[1,n+k]])=n+k$. Modèle:Démonstration/fin Par récurrence, on généralise cette propriété à une famille d'ensembles finis disjoints deux à deux :

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration/début Démonstration : $A$ et $\bar{A}$ sont deux ensembles finis d'intersection vide et $A\cup \bar{A}=E$. La première propriété permet de conclure. Modèle:Démonstration/fin Modèle:Théorème Modèle:Démonstration/début Démonstration : Comme $A\cap B$ et $A-B$ sont complémentaires dans $A$, la propriété précédente s'applique et on a $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cap B)$ + $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A-B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)$. Ce même raisonnement s'applique pour $B-A$ et $A\cap B$. Remarquons enfin que $A-B$,$A\cap B$ et $B-A$ forment une partition de $A\cup B$. L'identité se déduit des trois résultats précédents. Modèle:Démonstration/fin

Modèle:Théorème Ce résultat peut se généraliser à plus de deux ensembles. Modèle:Théorème

Modèle:Théorème Plus généralement, pour une suite d'ensembles finis :

Modèle:Théorème Cette propriété justifie la notation plus courante $F^E$.

Les applications injectives, qui jouent un rôle important en combinatoire, sont traitées de manière plus approfondie dans les paragraphes suivants.

Voir aussi

• Compte
• Dactylonomie (compter sur ses doigts)
• Construction du nombre chez l'enfant
• Nombre
• Numération
• Système de numération
• Combinatoire