Empilement de cercles dans un carré

Modèle:Voir homonymes L'empilement de cercles dans un carré est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre Modèle:Mvar dans le carré le plus petit possible. De manière équivalente, l'objectif est de disposer Modèle:Mvar points dans un carré visant à obtenir le moins de séparation, d_n, entre les points.

Pour passer d'une formulations du problème à l'autre, le côté du carré des cercles unitaires sera $L=2+\frac{2}{d_n}$.

Des solutions (pas nécessairement optimales) ont été calculées pour chaque Modèle:Mvar≤10 000. Les solutions allant jusqu'à Modèle:Mvar = 20 sont indiquées ci-dessous.

L'évident empilement carré est optimal pour 1, 4, 9, 16, 25 et 36 cercles (les six plus petits nombres carrés), mais il cesse d'être optimal pour les carrés plus grands à partir de 49.

Nombre de cercles (n)	Longueur du côté du carré (L)	dn	Densité (n/L^2)	Figure
1	2	∞	0,25
2	$2+\sqrt{2}$ ≈ 3,414...	$\sqrt{2}$ ≈ 1,414...	0,172...
3	$2+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 3,931...	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$ ≈ 1,035...	0,194...
4	4	1	0,25
5	$2+2\sqrt{2}$ ≈ 4,828...	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$ ≈ 0,707...	0,215...
6	$2+\frac{12}{\sqrt{13}}$ ≈ 5,328...	$\frac{1}{6}\sqrt{13}$ ≈ 0,601...	0,211...
7	$4+\sqrt{3}$ ≈ 5,732...	$4-2\sqrt{3}$ ≈ 0,536...	0,213...
8	$2+\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ≈ 5,863...	$\frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ ≈ 0,518...	0,233...
9	6	0,5	0,25
10	6,747...	0,421... Modèle:OEIS2C	0,220...
11	7,022...	0,398...	0,223...
12	$2+15\sqrt{\frac{2}{17}}$ ≈ 7,144...	0,389...	0,235...
13	7,463...	0,366...	0,233...
14	$6+\sqrt{3}$ ≈ 7,732...	0,348...	0,226...
15	$4+\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ≈ 7,863...	0,341...	0,243...
16	8	0,333...	0,25
17	8,532...	0,306...	0,234...
18	$2+\frac{24}{\sqrt{13}}$ ≈ 8,656...	0,300...	0,240...
19	8,907...	0,290...	0,240...
20	$\frac{130}{17}+\frac{16}{17}\sqrt{2}$ ≈ 8,978...	0,287...	0,248...