Ensemble sans somme

En combinatoire additive et en théorie additive des nombres, un sous-ensemble $A$ d'un groupe abélien noté additivement est un ensemble sans somme si la somme d'ensembles $A\oplus A=\{a+b\mid a,b\in A\}$ est disjointe de $A$. De manière équivalente, $A$ est sans somme si l'équation $a+b=c$ n'a pas de solution avec $a,b,c\in A$.

Par exemple, l'ensemble des entiers impairs est un sous-ensemble sans somme de l'ensemble des entiers ; de même, si Modèle:Math est un entier naturel pair, l'ensemble Modèle:Math est un sous-ensemble sans somme de Modèle:Math.

Concernant ces ensembles, on peut se poser la question suivante :

Quel est le nombre $a_n$ de sous-ensembles sans somme de Modèle:Math, pour un entier Modèle:Math ?

$a_n$ est trivialement $⩾n+1$ puisque l'ensemble vide et les singletons sont sans somme.

Les premières valeurs en commençant à $n=1$ sont :

2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954,..., Modèle:OEIS.

Par exemple, $a(3)=6$, car hormis le vide et les singletons, seuls $\{1,3\}$ et $\{2,3\}$ sont sans somme.

Ben J. Green a montré que la réponse asymptotique est [[Comparaison asymptotique#Domination|Modèle:Math]], comme suggéré dans la conjecture de Cameron-Erdős.

Alexander Sapozhenko a montré plus précisément que le nombre est [[Équivalent|Modèle:Math]] si Modèle:Math est pair, et Modèle:Math si Modèle:Math est impair, où Modèle:Math et Modèle:Math sont des constantes.

D'autres questions ont été posées et examinées :

• Quel est le nombre de sous-ensembles sans somme dans un groupe abélien ?
• Quelle est la taille maximale d'un sous-ensemble sans somme dans un groupe abélien ?

Voir aussi

• Suite sans somme