Ensemble syndétique

En mathématiques, en combinatoire, et plus spécialement en combinatoire des mots et en dynamique symbolique, un ensemble syndétique est un ensemble d'entiers naturels qui est à « lacunes bornées », c'est-à-dire tel que les différences entre deux entiers consécutifs de cet ensemble sont bornées.

Définitions équivalentes

Les définitions suivantes sont équivalentes :

• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un entier $p$ tel que$S\cap \{a,a+1,a+2,\dots ,a+p\}\ne \mathrm{\varnothing }\text{pour tout entier naturel }a$.
• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un ensemble fini $F$ d'entiers naturels tel que$\mathbb{N}=\bigcup _{a\in F}S-a\mathrm{o}\stackrel{`}{\mathrm{u}}S-a=\{m\mid a+m\in S\}.$
• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique si la suite $(s_1,s_2,\dots ,s_n,\dots )$ de ses éléments, classés en ordre croissant, vérifie : il existe un entier $p$ tel que$s_{i+1}-s_i\le p\text{pour tout }i\ge 1.$

Exemples

• Un ensemble périodique d'entiers naturels est syndétique.
• L'ensemble des carrés n'est pas syndétique, mais son complémentaire l'est.
• L'ensemble des positions du symbole 0 (resp. du symbole 1) dans la suite de Prouhet-Thue-Morse est syndétique. De même pour le mot de Fibonacci.

Voir aussi

• Modèle:Lien
• Théorie de Ramsey
• Combinatoire des mots

Références

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Chapitre