Espace des chemins
En topologie, l’espace des chemins sur un espace topologique Modèle:Mvar est l’ensemble des applications continues de l’intervalle unité vers Modèle:Mvar, muni de la topologie compacte-ouverte. Ces applications sont des chemins dans Modèle:Mvar, dont le point de départ est la valeur en 0, et le point d’arrivée est la valeur en 1.
Si l’espace Modèle:Mvar est muni d’un point de base, l’espace des chemins pointés est le sous-ensemble des chemins commençant au point de base.
L’espace des chemins sur Modèle:Mvar est homotopiquement équivalent à Modèle:Mvar, tandis que l’espace des chemins pointés est contractile.
La projection de chaque chemin sur son point de départ définit une fibration de l’espace des chemins sur Modèle:Mvar, dont la fibre est l’espace des chemins pointés.
La projection de chaque chemin pointé sur son point d’arrivée définit une fibration dont la fibre est l’espace des lacets sur Modèle:Mvar.
La construction de l’espace des chemins constitue un foncteur de la catégorie des espaces topologiques dans elle-même, admettant comme foncteur adjoint à gauche la construction du cylindre topologique. De même, la construction de l’espace des chemins pointés constitue un foncteur de la catégorie des espaces topologiques pointés dans elle-même, admettant comme foncteur adjoint à gauche la construction du cône topologique.
L’ensemble des classes d’homotopie des chemins sur Modèle:Mvar à extrémités fixées constitue l’ensemble des morphismes d’une petite catégorie dont les objets sont les points de l’ensemble Modèle:Mvar.