Espace semi-métrique

Modèle:Ébauche En mathématiques, la notion d'espace semi-métrique est une généralisation de celle d'espace métrique dans laquelle on n'impose pas l'inégalité triangulaire. Dans les traductions de textes russes, le terme « semi-métrique » est parfois remplacé par « symétrique ».

En analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique, parce que toute semi-norme induit une pseudo-distance (i.e. un écart à valeurs finies).

Définition

Une semi-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

$\mathrm{d}:E\times E\to {ℝ}_{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

1. $\mathrm{d}(x,y)=0⟺x=y$ (séparation) ;
2. $\mathrm{d}(x,y)=\mathrm{d}(y,x)$ (symétrie).

Un espace semi-métrique $(E,\mathrm{d})$ est un ensemble $E$ muni d'une semi-distance $\mathrm{d}$.

Une semi-distance $\mathrm{d}$, sur un ensemble $E$, qui vérifie l'inégalité triangulaire est une distance, auquel cas $(E,\mathrm{d})$ est un espace métrique.

Références

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