Espace tensoriel

Modèle:Ébauche Modèle:À sourcer Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$, où $E^{*}$ est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, ${}^{t}u$ est le morphisme contragrédient de $E^{*}$, c'est-à-dire l'automorphisme défini par ${}^{t}u(\phi )=\phi \circ u$. On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$ par :

$\begin{array}{cccc}u\cdot x=& \underbrace{(u\otimes \cdots \otimes u}& \otimes & \underbrace{{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)}(x)\\ & p& & q\end{array}$

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de $\underset{i=1}{\overset{p}{⨂}}E\otimes \underset{j=1}{\overset{q}{⨂}}{E}^{*}$ stable par la loi externe $(u,x)\mapsto u\cdot x$.