Faisceau (de modules)

Modèle:Voir homonymes En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé $(X,O_X)$ qui possède une structure de module sur le faisceau structural $O_X$.

Définition

Sur un espace localement annelé $(X,O_X)$, un faisceau de $O_X$-modules (ou un $O_X$-Module) est un faisceau $F$ sur $X$ tel que $F(U)$ soit un $O_X(U)$-module pour tout ouvert $U$, et que pour tout ouvert $V$ contenu dans $U$, l'application restriction $F(U)\to F(V)$ soit compatible avec les structures de modules: pour tous $a\in O_X(U),f\in F(U)$, on a

$(af){|}_V=a{|}_{V}f{|}_V$.

Les notions de sous-$O_X$-modules et de morphismes de $O_X$-modules sont claires.

Exemples

• Le faisceau structural $O_X$ est un faisceau de $O_X$-modules. Les sous-modules de $O_X$ sont des faisceaux d'idéaux de $O_X$.
• Si $f:F\to G$ est un morphisme de faisceaux de $O_X$-modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de $f$ sont des faisceaux de $O_X$-modules. Le quotient de $G$ par un

sous-$O_X$-Module est un $O_X$-Module.

• Si $I$ est un ensemble d'indice, la somme directe $O_X^{(I)}$ est définie sur chaque ouvert $U$ comme étant $O_X(U{)}^{(I)}$, la somme directe de copies de $O_X(U)$ indexées par $I$. C'est un faisceau de $O_X$-modules libre. Un faisceau de $O_X$-modules $F$ est dit localement libre (de rang $r$) si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert sur lequel $F$ est libre (de rang $r$).
• Si $F,G$ sont des faisceaux de $O_X$-modules, on définit le faisceau des morphismes de $F$ dans $G$ par$U\mapsto Ho{m}_{O_X(U)}(F(U),G(U))$(le $O_X(U)$-module des applications linéaires $F(U)\to G(U)$). Le dual de $F$ est le faisceau des morphismes de $F$ dans $O_X$.
• Le faisceau associé au préfaisceau $U\to F(U){\otimes }_{O_X(U)}G(U)$ est noté $F{\otimes }_{O_X}G$. Ses germes en $x$ est canoniquement isomorphe à $F_x{\otimes }_{O_{X,x}}{G}_x$.
• Soit $g:X\to Y$ un morphisme d'espaces localement annelés. Soit $F$ un faisceau de $O_X$-modules. Alors l'image directe $g_{*}F$ est un faisceau de $O_Y$-module.
• Soit $G$ un faisceau de $O_Y$-modules. On définit l'image réciproque $g^{*}G$ (à distinguer de l'image réciproque $g^{-1}G$) comme étant le produit tensoriel $g^{-1}G{\otimes }_{g^{-1}(O_Y)}{O}_X$. On a $(g^{*}G{)}_x$ isomorphe à $G_{f(x)}{\otimes }_{O_{Y,f(x)}}{O}_{X,x}$ pour tout $x$ dans $X$.

Faisceaux quasi-cohérents

On dit qu'un faisceau de $O_X$-modules $F$ est engendré par ses sections globales si pour tout point $x$ de $X$, l'image de l'homomorphisme canonique $F(X)\to F_x$ engendre $F_x$ comme $O_{X,x}$-module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de $O_X$-modules $L\to F$, où $L$ est un faisceau de $O_X$-modules libre.

On dit que $F$ est quasi-cohérent si tout point de $X$ possède un voisinage ouvert dans lequel $F$ est un quotient d'un faisceau de $O_X$-module libre. Cela veut dire donc que tout point $x$ possède un voisinage ouvert $V$ tel que $F{|}_V$ soit engendré par ses sections $F(V)$.

Faisceaux cohérents

On dit que $F$ est Modèle:Lien si tout point $x$ de $X$ possède un voisinage $V$ tel que $F{|}_V$ soit quotient d'un faisceau de $O_V$-modules libre de rang fini (on dit alors que $F$ est de type fini) et si pour tout ouvert $U$ et pour tout morphisme $O_U^r\to F{|}_U$, le noyau est de type fini.

Référence bibliographique

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, chap. 0, § 4-5