Fibré associé

En géométrie différentielle, un fibré associé est un fibré qui est induit par un $G$-fibré principal et une action du groupe structurel sur un espace auxiliaire.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\mathrm{\Phi }:G\to \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(P)$ l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
• $\rho :G\to \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(M)$ une action de groupe à gauche de $G$ sur une variété différentielle $M$.

Définition

Le fibré associé à $P$ pour $\rho$ est le fibré $\mathrm{p}\mathrm{r}:E\to B$ où $E$ est défini par :

$E:=P{\times }_{\rho }M:=(P\times M)/\sim$

où la relation d'équivalence est :

$(a,b)\sim ({\mathrm{\Phi }}_{\lambda }(a),\rho (\lambda {)}^{-1}(b)),\mathrm{\forall }a\in P,\mathrm{\forall }b\in M,\mathrm{\forall }\lambda \in G$

Remarques

• Les fibres de $E$ sont de fibre type $M$. Il est donc commun d'écrire le fibré $E$ comme $M\hookrightarrow E\to B$.
• Lorsque l'action de groupe $\rho$ est une représentation de groupe $\rho :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)$ sur un espace vectoriel $V$, le fibré associé est un fibré vectoriel de fibre type $V$.
• Lorsque $\rho$ agit trivialement sur $M$, i.e. $\rho (\lambda )={\mathrm{i}\mathrm{d}}_M$ pour tout $\lambda \in G$, le fibré associé est trivial, i.e. $P{\times }_{\rho }M=B\times M$.

Sections d'un fibré associé

Donnons-nous un fibré vectoriel associé $E=P{\times }_{\rho }V$. Les sections $\psi \in \mathrm{\Gamma }(E)$ du fibré $E$ sont en bijection avec les fonctions ${\psi }^{\mathrm{♯}}:P\to V$ qui sont $\rho$-équivariantes :

$({\mathrm{\Phi }}_{\lambda }{)}^{*}{\psi }^{\mathrm{♯}}=\rho (\lambda {)}^{-1}\circ {\psi }^{\mathrm{♯}},\mathrm{\forall }\lambda \in G$

Explicitement, la relation entre la section $\psi$ et la fonction ${\psi }^{\mathrm{♯}}$ est :

$\psi (\pi (a))=[a,{\psi }^{\mathrm{♯}}(a)],\mathrm{\forall }a\in P$

Ici, $[\cdot ]$ dénote la classe d'équivalence pour la relation d'équivalence ci-haut.

La notion de section d'un fibré associé se généralise à la notion de forme différentielle à valeurs en un fibré associé. Ces dernières formes différentielles correspondent à des formes basiques sur $P$.

Exemples

• Exemple 1 :

Soit $\mathrm{F}\mathrm{r}(B)$ le fibré des repères linéaires tangents à $B$. Point par point sur la variété $B$, les éléments du fibré des repères sont les isomorphismes linéaires allant de l'espace ${ℝ}^n$ à l'espace tangent de $B$ :

${\mathrm{F}\mathrm{r}}_x(B):=\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}({ℝ}^n;T_{x}B)$

Le fibré des repères $\mathrm{F}\mathrm{r}(B)$ est un $\mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℝ)$-fibré principal sur $B$. Considérons la représentation canonique $\rho$ du groupe structurel $\mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℝ)$ sur l'espace vectoriel ${ℝ}^n$. Alors, le fibré tangent de $B$ est un fibré associé du fibré des repères :

$TB=\mathrm{F}\mathrm{r}(B){\times }_{\rho }{ℝ}^n$

De même, le fibré cotangent de $B$ est un fibré associé pour la représentation duale de la représentation canonique :

$T^{*}B=\mathrm{F}\mathrm{r}(B){\times }_{{\rho }^{*}}({ℝ}^n{)}^{*}$

• Exemple 2 :

Soit ${ℂ}^{\times }:=(ℂ\mathrm{\setminus }\{0\},\cdot )$ le groupe des nombres complexes non nuls munis de la multiplication. Donnons-nous un ${ℂ}^{\times }$-fibré principal $P\to B$. Considérons la représentation canonique de ${ℂ}^{\times }$ sur $ℂ$ :

$\rho (\lambda )(z):=\lambda z,\mathrm{\forall }\lambda \in {ℂ}^{\times },\mathrm{\forall }z\in ℂ$

Le fibré associé à $P$ via $\rho$ est un fibré en droites complexes $ℂ\hookrightarrow E\to B$. Un tel fibré vectoriel apparaît, par exemple, en quantification géométrique.

Bibliographie

• Modèle:En S. K. Donaldson et P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, 1986
• Modèle:En José Figueroa-O’Farrill, Lectures on Gauge Theory, 2006
• Modèle:Ouvrage