Fonction de Fabius

Représentation graphique de la fonction de Fabius sur l'intervalle [0,1] .

Extension de la fonction aux nombres réels positifs.

En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1966). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de

$\hat{f}(z)=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(\cos \frac{\pi z}{2^m})}^m$

par Børge Jessen et Aurel Winner (1935).

La fonction Fabius est définie sur l'intervalle $[0,1]$ et est donnée par la fonction de répartition de

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}{\xi }_n,$

où les Modèle:Formule sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'intervalle unité.

Description

Cette fonction satisfait la condition initiale $f(0)=0$, la condition de symétrie $f(1-x)=1-f(x)$ pour $0\le x\le 1,$ et l' équation différentielle fonctionnelle $f^{\prime }(x)=2f(2x)$ pour $0\le x\le 1/2.$ Il s'ensuit que $f$ est monotone croissante pour $0\le x\le 1,$ avec $f(1/2)=1/2$ et $f(1)=1.$ Il existe une extension unique de Modèle:Mvar aux nombres réels qui satisfait la même équation différentielle pour tout x . Cette extension peut être définie par Modèle:Formule pour Modèle:Formule, Modèle:Formule pour Modèle:Formule, et Modèle:Formule pour Modèle:Formule avec Modèle:Mvar un entier positif. La séquence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou négative suit le même schéma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.

Valeurs

La fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possède des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.

Notes et références

• Modèle:Lien arXiv
• Modèle:Lien arXiv (an English translation of the author's paper published in Spanish in 1982)
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.