Fonction de Hilbert-Samuel

En algèbre commutative, la fonction de Hilbert-Samuel (du nom de David Hilbert et Pierre Samuel), d'un module de type fini non nul $M$ sur un anneau local noethérien commutatif $A$ et un idéal primordial $I$ de $A$ est la fonction ${\chi }_M^I:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ définie pour tous $n\in \mathbb{N}$ par :

${\chi }_M^I(n)=\ell (M/I^{n}M)$

où $\ell$ désigne la longueur sur $A$. Elle est liée à la fonction de Hilbert du module gradué associé ${\mathrm{gr}}_I(M)$ par l'identité :

${\chi }_M^I(n)=\sum _{i=0}^{n}H({\mathrm{gr}}_I(M),i).$

Pour $n$ assez grand, elle coïncide avec une fonction polynomiale de degré égale à $\dim ({\mathrm{gr}}_I(M))$, souvent appelé polynôme de Hilbert-Samuel (ou polynôme de Hilbert).

Exemples

Pour l'anneau de séries formelles de puissances à deux variables $k[[x,y]]$ pris comme un module sur lui-même et l'idéal $I$ générés par les monômes $x^2$ et $y^3$, on a :

$\chi (1)=6,\chi (2)=18,\chi (3)=36,\chi (4)=60,\text{ et en général }\chi (n)=3n(n+1)\text{ pour }n\ge 0.$

Limite de degré

Contrairement à la fonction de Hilbert, la fonction de Hilbert – Samuel n'est pas additive sur une séquence exacte. Cependant, il près de l'être en conséquence du lemme d'Artin – Rees. On note $P_{I,M}$ le polynôme de Hilbert-Samuel, qui coïncide avec la fonction de Hilbert-Samuel pour les grands entiers. Modèle:Théorème

Preuve : En tensoriant la séquence exacte donnée avec $R/I^n$ et en calculant le noyau, nous obtenons la séquence exacte :

$0\to (I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime }\to M^{\prime }/I^n{M}^{\prime }\to M/I^{n}M\to M^{″}/I^n{M}^{″}\to 0,$

ce qui nous donne :

${\chi }_M^I(n-1)={\chi }_{M^{\prime }}^I(n-1)+{\chi }_{M^{″}}^I(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime })$.

Le troisième terme à droite peut être estimé par Artin-Rees. En effet, d'après le lemme, pour un grand n et un certain k,

$I^{n}M\cap M^{\prime }=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M^{\prime })\subset I^{n-k}{M}^{\prime }.$

Ainsi,

$\ell ((I^{n}M\cap M^{\prime })/I^n{M}^{\prime })\le {\chi }_{M^{\prime }}^I(n-1)-{\chi }_{M^{\prime }}^I(n-k-1)$.

Cela donne la limite de degré souhaitée.

Multiplicité

Si $A$ est un anneau local de dimension de Krull $d$, et $I$ un idéal $m$-primordiale, le coefficient dominant de son polynôme de Hilbert est de la forme $\frac{e}{d!}\cdot n^d$ pour un entier $e$. Cet entier $e$ est par définition la multiplicité de l'idéal $I$. Quand $I=m$ est l'idéal maximal de $A$, on dit aussi $e$ est la multiplicité de l'anneau local $A$.

La multiplicité d'un point $x$ d'un schéma $X$ est définie comme étant la multiplicité de l'anneau local correspondant ${𝒪}_{X,x}$.

Voir aussi

• j-multiplicité