Fonction de Legendre

Modèle:Ébauche En mathématiques, les fonctions de Legendre, notées PModèle:Ind (première espèce) et QModèle:Ind (seconde espèce), ainsi que les fonctions associées de Legendre correspondantes, notées PModèle:Indexp et QModèle:Indexp, sont des généralisations des polynômes de Legendre $P_{\ell }(x)$ et des polynômes associés de Legendre $P_{\ell }^m(x)$, à des valeurs non-entières de $\ell$ et Modèle:Mvar.

Définition

Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l’équation générale de Legendre:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+[\lambda (\lambda +1)-\frac{{\mu }^2}{1-x^2}]y=0,$

où Modèle:Math et Modèle:Math sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l’ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond à Modèle:Math ; si par surcroît Modèle:Math est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.

Les polynômes associés de Legendre correspondent, eux, au cas où Modèle:Math et Modèle:Math sont des entiers (positifs pour Modèle:Math).

Expressions

La fonction associée de Legendre de première espèce PModèle:Indexp s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique ${}_2{F}_1$:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2}),\text{pour }|1-z|<2$

où $\mathrm{\Gamma }$ est la fonction gamma.

L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$, et définie par :

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mu \pi }(z^2-1{)}^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2}),\text{pour}|z|>1.$

Représentations intégrales

Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous formes d'intégrales de contour. Ainsi on a :

$P_{\lambda }(z)=\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }\underset{1,z}{\int }\frac{(t^2-1{)}^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z{)}^{\lambda +1}}\mathrm{d}t,$

où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point –1. Pour Modèle:Mvar réel, cette représentation devient :

$P_s(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}\cos \theta )}^s\mathrm{d}\theta =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1))}^s\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(1-t)}},s\in ℂ.$

Références

• Snow, Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse [1].

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Modèle:Mathworld