Fonction de Scorer

Les fonctions de Scorer (du nom du mathématicien R. S. Scorer) sont des fonctions spéciales notées Modèle:Math et Modèle:Math.

Les deux fonction Modèle:Math et Modèle:Math résolvent l'équation

Graphe de Gi(x) et de Hi(x).

$y^{″}(x)-xy(x)=\frac{1}{\pi },$

et sont données par :

$\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t,$

$\mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t.$

Les fonctions de Scorer peuvent aussi être définies à l'aide des fonctions d'Airy :

$\begin{array}{cc}\mathrm{G}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)\mathrm{d}t+\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)\mathrm{d}t,\\ \mathrm{H}\mathrm{i}(x)& =\mathrm{B}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{A}\mathrm{i}(t)\mathrm{d}t-\mathrm{A}\mathrm{i}(x)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\mathrm{B}\mathrm{i}(t)\mathrm{d}t.\end{array}$

Propriétés

On a :

$\mathrm{G}\mathrm{i}(0)=\frac{1}{2}\mathrm{H}\mathrm{i}(0)=\frac{1}{3}\mathrm{B}\mathrm{i}(0)=\frac{1}{3^{\frac{7}{6}}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})}\simeq 0,2049755424...$

${\mathrm{G}\mathrm{i}}^{\prime }(0)=\frac{1}{2}{\mathrm{H}\mathrm{i}}^{\prime }(0)=\frac{1}{3}{\mathrm{B}\mathrm{i}}^{\prime }(0)=\frac{1}{3^{\frac{5}{6}}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}\simeq 0,1494294524...$

Bibliographie

• Modèle:DLMF