Fonction de Stumpff

Les fonctions de Stumpff, du nom du mathématicien Modèle:Lien, sont des développements en série entière utilisés en mécanique céleste dans la résolution de l'équation de Kepler.

Définition

La fonction $c_n(x)$ de Stumpff, est définie par :

La série converge pour tout réel $x$.

Valeurs particulières

On remarque que :

• $c_0(x^2)=\cos (x)$
• $c_1(x^2)=\frac{\sin (x)}{x}=\mathrm{sinc}(x)$, où sinc désigne le sinus cardinal
• $c_2(x^2)=\frac{1-\cos (x)}{x^2}$
• $c_3(x^2)=\frac{x-\sin (x)}{x^3}$

Ce sont essentiellement ces quatre fonctions qui interviennent dans la théorie de l'équation de Kepler elliptique.

Il suffit d'utiliser $c_n(-x^2)$ pour passer au cas hyperbolique :

• $c_0(-x^2)=\cosh (x)$
• $c_1(-x^2)=\frac{\sinh (x)}{x}$

Propriétés

Les fonctions de Stumpff satisfont la relation de récurrence :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},x{c}_{n+2}(x)=\frac{1}{n!}-c_n(x)$

On a également :

$2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{c}_n(x)=n{c}_{n+2}(x)-c_{n+1}(x)$

Pour tout entier positif n, $c_n(0)=\frac{1}{n!}$.

Utilité

La trajectoire d'un corps soumis aux lois de Kepler est :

• une ellipse si l'énergie est négative
• une branche d'hyperbole si l'énergie est positive
• une parabole si l'énergie est nulle (cas de Barker).

Les formules exprimant le mouvement sont donc différentes dans chaque cas, obligeant donc à considérer différentes fonctions, si par exemple une perturbation finie vient à changer le signe de l'énergie.

Stumpff a compris que les trois cas pouvaient s'exprimer d'une seule façon grâce à « ses » fonctions, qui ne sont que des formes modifiées du [[Fonction trigonométrique#Définitions à partir des séries entières|développement en série de Modèle:Math et Modèle:Math]].

Références

• Modèle:De Karl Stumpff, Himmelsmechanik, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1956, 1965, 1974
• Modèle:En Richard H. Battin, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics, AIAA, 1999 Modèle:ISBN
• Modèle:En Eduard Stiefel et Gerhard Scheifele, Linear and Regular Celestial Mechanics , Springer-Verlag, 1971 Modèle:ISBN