Fonction de taux

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.

Définition

Soit $X$ un espace topologique séparé et $I : X ⟶ [0, + \infty]$ une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que $I$ est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :

pour tout $a \in [0, + \infty [$ l'ensemble $I^{- 1} ([0, a]) = {x \in X, I (x) \leq a} \subset X$ est fermé.

Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que $I$ est une bonne fonction de taux.

Si $I$ est une bonne fonction de taux alors $I$ possède un minimum sur tout fermé. Autrement dit $I$ atteint son infimum sur tout fermé.
La transformée de Cramér d'une variable aléatoire à valeurs dans $ℝ^{d}$ est toujours une fonction de taux. Plus précisément si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $ℝ^{d}$ et si on note

K (t) = \ln 𝔼 [e^{⟨ t, X ⟩}] \in ℝ \cup {+ \infty} \forall t \in ℝ^{d}

X

et

K^{*} (x) = \sup_{x \in ℝ^{d}} {⟨ t, x ⟩ - K (t)} \forall x \in ℝ^{d}

K

, alors

K^{*}

est une fonction de taux convexe. Si de plus 0 appartient à l'intérieur de l'ensemble

D_{K} = {t \in ℝ^{d}, K (t) < + \infty}

alors

K^{*}

est une bonne fonction de taux convexe.